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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:12 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Fei |
Hallo Leute,
Ich habe ein Problem bezüglich von Häufigkeitspunkten (HP), wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet.
Es geht darum: Ich soll zeigen, dass eine beschränkte, divergente reelle Folge mindestens zwei verschiedene Häufigkeitspunkte besitzt.
Ich habe den direkten Beweis versucht. Klar ist, dass wenn eine Folge beschränkt ist, gilt [mm] |(a_{n})_{n \in \IN}| [/mm] <= K, [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] K [mm] \in \IN. [/mm] Betrachte
Fall 1 : Sei [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] = c, c [mm] \in \IN, [/mm] also eine konstante Folge.
Dies kann nicht sein, da [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] konvergent wäre.
Fall 2 : Alles sonst.
Da die Folge nicht konstant ist, existieren [mm] K_{max}, K_{min} \in \IN, K_{max}> K_{min}, [/mm] sodass
[mm] K_{max} [/mm] > [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] > [mm] K_{min} [/mm] , [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Ich hab also auf jeden Fall schon mal zwei Grenzen. Ich aber jetzt irgendwie zeigen, dass diese auch HPs sind. Irgendwie weiß ich nicht, wie ich das machen soll.
Ganz davon abgesehen, die Rückrichtig muss ich doch nicht zeigen, oder (ich glaube sowieso, dass sie nicht stimmt).
Also, schon mal Danke im Voraus!
Grüße, Fei
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Hallo fei,
zunächst einmal gehe ich davon aus, dass du häufungspunkte meinst und nicht häufigkeitspunkte, letzteren begriff habe ich zumindest noch nie gehört.
deine aufgabe kann man schritt für schritt ganz logisch lösen. also du hast eine beschränkte relle folge, die dazu noch divergent ist.
Wir haben also eine schranke $K$ für unsere folge, wie du schreibst. Was sagt uns nun der satz von bolzano-weierstraß? (den du sicherlich schon hattest) richtig, der sagt, dass unsere folge einen HP hat.
laut voraussetzung ist unsere folge aber divergent, der HP kann also nicht auch grenzwert sein. dh. es gibt unendlich viele folgeglieder, die außerhalb einer gewissen [mm] $\varepsilon$-umgebung [/mm] des HPs liegen.( mache dir das anhand der definition des grenzwertes klar!)
diese unendlich vielen folgeglieder sind aber nach voraussetzung wiederum beschränkt und haben somit einen HP, der nicht mit dem ersten HP übereinstimmen kann. q.e.d.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Fei |
Danke erstmal für deine Antwort!
Ja, ich meinte in der Tat Häufungspunkte (Es war schon so spääät...).
Allerdings verstehe ich deine Argumentation nicht ganz:
Ich bin nämlich der Meinung, dass die Beschränktheit doppelt verwendet wurde:
Wir haben also eine schranke K für unsere folge"
Dies folgt doch aus der Beschränktheit, oder nicht?
diese unendlich vielen folgeglieder sind aber nach voraussetzung wiederum beschränkt
...und dies wohl auch? Darauf basierst du wohl auch Bolzano-Weierstraß (Jede beschränkte Folge besitzt mindestens ein HP)?
Ich kann doch nicht diese Eigenschaft doch nicht doppelt verwerden, oder?
Freue mich über deine Hilfe,
Fei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Sa 03.12.2005 | | Autor: | saxneat |
Moin Fei!
Schau dir mal ne andere Formulierung des Bolzano-Weierstraß an:
Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge.
Nun können wir das Durcheinander mal versuchen aufzulösen:
i)
[mm] a_{n} [/mm] ist beschränkt [mm] \Rightarrow [/mm] es existiert eine konvergente Teilfolge [mm] a_{n_{k}} \to P_{1} [/mm] und dieses [mm] P_{1} [/mm] ist gewiss HP deiner Folge
ii)
[mm] a_{n} [/mm] ist divergent [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt eine Teilfolge [mm] a_{n_{j}} [/mm] die nicht gegen [mm] P_{1} [/mm] konvergiert.
iii)
Da [mm] a_{n} [/mm] beschränkt ist ist auch die Teilfolge [mm] a_{n_{j}} [/mm] beschränkt und enthält eine konvergente Teilfolge [mm] a_{n_{j_{d}}} [/mm] deren Grenzwert nicht [mm] P_{1} [/mm] ist.
Nennen wir den Grenzwert einfach [mm] P_{2}.
[/mm]
Denke damit wäre ein mögliches Gerüst für deinen Beweis gebaut.
MfG
saxneat
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Hallo,
> Wir haben also eine schranke K für unsere folge"
> Dies folgt doch aus der Beschränktheit, oder nicht?
>
Genau! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> diese unendlich vielen folgeglieder sind aber nach
> voraussetzung wiederum beschränkt
> ...und dies wohl auch? Darauf basierst du wohl auch
> Bolzano-Weierstraß (Jede beschränkte Folge besitzt
> mindestens ein HP)?
Ja.
>
> Ich kann doch nicht diese Eigenschaft doch nicht doppelt
> verwerden, oder?
Doch, klar, das kannst du. warum denn nicht?
>
> Freue mich über deine Hilfe,
> Fei
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Fei |
Supi! Ich hab das jetzt verstanden. Vielen Dank an meine Helfer :)
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