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Forum "Logik" - Gültigkeit von Aussagen
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Gültigkeit von Aussagen: Aufgabe mit Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Mo 17.02.2014
Autor: starki

Aufgabe
Geben Sie zu den folgenden Formeln an, ob sie allgemeingültig, erfüllbar, falsifizierbar, unerfüllbar sind.

(a) $ q $

(b) $ q [mm] \vee [/mm] p $

(c) $ p [mm] \vee \neg [/mm] p $

(d) $ p [mm] \rightarrow \neg [/mm] p $

(e) $ [mm] \neg [/mm] p [mm] \rightarrow [/mm] p $

(f)  $ p [mm] \rightarrow [/mm] (q [mm] \rightarrow [/mm] p) $

(g) $ p [mm] \rightarrow [/mm] (p [mm] \rightarrow [/mm] q) $

(h) $ ((p [mm] \rightarrow [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] p) [mm] \rightarrow [/mm] p $

Hier mal meine Lösungen:

a) $ q $ => erfüllbar

b) $ q [mm] \vee [/mm] p $ => erfüllbar

c) $ p [mm] \vee \neg [/mm] p $ => allgemeingültig

d) $ p [mm] \rightarrow \neg [/mm] p [mm] \equiv \neg [/mm] p [mm] \vee \neg [/mm] p [mm] \equiv \neg [/mm] p $ => erfüllbar

e) $ [mm] \neg [/mm] p [mm] \rightarrow \p \equiv \neg \neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] p [mm] \equiv [/mm] p [mm] \vee [/mm] p [mm] \equiv [/mm] p $ => erfüllbar

f) $ p [mm] \rightarrow [/mm] (q [mm] \rightarrow [/mm] p) [mm] \equiv [/mm] $
$ [mm] \neg [/mm] p [mm] \vee (\neg [/mm] q [mm] \vee [/mm] p) [mm] \equiv [/mm] $
$ [mm] \neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] (p [mm] \vee \neg [/mm] q) [mm] \equiv [/mm] $
$ [mm] (\neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] p) [mm] \vee \neg [/mm] q [mm] \equiv [/mm] $
$ W [mm] \vee \neg [/mm] q [mm] \equiv [/mm] $
$ W $ => allgemeingültig

g)
$ p [mm] \rightarrow [/mm] (p [mm] \rightarrow [/mm] q) [mm] \equiv [/mm] $
$ [mm] \neg [/mm] p [mm] \vee (\neg [/mm] p [mm] \vee \neg [/mm] q) [mm] \equiv [/mm] $
$ [mm] (\neg [/mm] p [mm] \vee \neg [/mm] p) [mm] \vee \neg [/mm] q [mm] \equiv [/mm] $
$ [mm] \neg [/mm] p [mm] \vee \neg [/mm] q $ => efüllbar

h)
$ ((p [mm] \rightarrow [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] p) [mm] \rightarrow [/mm] q [mm] \equiv [/mm] $
$ [mm] \neg ((\neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] q) [mm] \wedge [/mm] p) [mm] \vee [/mm] q [mm] \equiv [/mm] $
$ [mm] (\neg(\neg [/mm] p [mm] \vee [/mm] q) [mm] \vee \neg [/mm] p) [mm] \vee [/mm] q [mm] \equiv [/mm] $
$ ((p [mm] \wedge \neg [/mm] q) [mm] \vee \neg [/mm] p) [mm] \vee [/mm] q [mm] \equiv [/mm] $
$ ((p [mm] \vee \neg [/mm] p) [mm] \wedge [/mm] (p [mm] \vee \neg [/mm] q)) [mm] \vee [/mm] q [mm] \equiv [/mm] $
$ (W [mm] \wedge [/mm] (p [mm] \vee \neg [/mm] q)) [mm] \vee [/mm] q [mm] \equiv [/mm] $
$ (p [mm] \vee \neg [/mm] q) [mm] \vee [/mm] q) [mm] \equiv [/mm] W $ => allgemeingültig

        
Bezug
Gültigkeit von Aussagen: Resolutionskalkül(Tipp)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:16 Mo 17.02.2014
Autor: pc_doctor

Hallo,
wir haben ähnliche Aufgaben zu lösen. Inbesondere sollen wr prüfen, ob sie erfüllbar/unerfüllbar sind.

Ab f) kannst du Resolution anwenden , indem du die Implikation als Disjunktion(besser: DNF)  und dann als Konjunktion aufschreibst(besser: KNF)  und dann die Resolventen bestimmst.
a -> b [mm] \equiv \neg [/mm] a [mm] \vee [/mm] b [mm] \equiv [/mm] ...(usw)

Denn eine Formel ist genau dann nicht erfüllbar , wenn [mm] \Box \in Res_{(K)} [/mm] , K ist in dem Fall ein Term. So kannst du leicht nachprüfen, ob der Term bzw. Formel erfüllbar ist oder nicht. So als Kontrolle.

Nur so als Tipp. http://de.wikipedia.org/wiki/Resolution_%28Logik%29


Bezug
                
Bezug
Gültigkeit von Aussagen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:28 Mo 17.02.2014
Autor: starki

Ah stimmt, das könnte ich machen. Das ist mir total entfallen ...
Bezug
        
Bezug
Gültigkeit von Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:57 Di 18.02.2014
Autor: tobit09

Hallo starki!


> Geben Sie zu den folgenden Formeln an, ob sie
> allgemeingültig, erfüllbar, falsifizierbar, unerfüllbar
> sind.

Ich verstehe die Aufgaben so, dass jede der Formeln auf jeden der vier Begriffe zu untersuchen ist.
Du hast jedoch zu jeder Aussage nur einen Begriff angegeben, obwohl stets zwei der vier Begriffe zutreffen.
Ich korrigiere daher im Folgenden nur, ob der von dir genannte Begriff zutrifft.


> a) [mm]q[/mm] => erfüllbar

[ok]

> b) [mm]q \vee p[/mm] => erfüllbar

[ok]
  
> c) [mm]p \vee \neg p[/mm] => allgemeingültig

[ok]

> d) [mm]p \rightarrow \neg p \equiv \neg p \vee \neg p \equiv \neg p[/mm]
> => erfüllbar

[ok]

> e) [mm]\neg p \rightarrow \p \equiv \neg \neg p \vee p \equiv p \vee p \equiv p[/mm]
> => erfüllbar

[ok]

> f) [mm]p \rightarrow (q \rightarrow p) \equiv[/mm]
>  [mm]\neg p \vee (\neg q \vee p) \equiv[/mm]
>  
> [mm]\neg p \vee (p \vee \neg q) \equiv[/mm]
> [mm](\neg p \vee p) \vee \neg q \equiv[/mm]
>  [mm]W \vee \neg q \equiv[/mm]
> [mm]W[/mm] => allgemeingültig

[ok]

> g)
>  [mm]p \rightarrow (p \rightarrow q) \equiv[/mm]
>  [mm]\neg p \vee (\neg p \vee \neg q) \equiv[/mm]

[notok] Da ist das hintere [mm] "$\neg$" [/mm] zu viel.

> [mm](\neg p \vee \neg p) \vee \neg q \equiv[/mm]
>  [mm]\neg p \vee \neg q[/mm]
> => efüllbar

[ok]

> h)
> [mm]((p \rightarrow q) \wedge p) \rightarrow q \equiv[/mm]
>  [mm]\neg ((\neg p \vee q) \wedge p) \vee q \equiv[/mm]
>  
> [mm](\neg(\neg p \vee q) \vee \neg p) \vee q \equiv[/mm]
>  [mm]((p \wedge \neg q) \vee \neg p) \vee q \equiv[/mm]
>  
> [mm]((p \vee \neg p) \wedge (p \vee \neg q)) \vee q \equiv[/mm]
>  [mm](W \wedge (p \vee \neg q)) \vee q \equiv[/mm]
>  
> [mm](p \vee \neg q) \vee q) \equiv W[/mm] => allgemeingültig

[ok]  


Viele Grüße
Tobias
Bezug
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