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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Di 18.10.2011 | | Autor: | AXB |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass eine Gruppe abelsch ist, wenn jedes Element außer dem neutralen die Ordnung 2 besitzt. |
Hallo,
ich weiss so gar nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll.
Ich bitte daher um eine Hilfestellung.
Ich weiss, dass eine Gruppe G abelsch ist wenn für alle
a,b element G gilt: a b = b a
Ordnung: G Gruppe; g element G. Gibt es ein n der natürlichen
Zahlen mit [mm] g^n [/mm] = g•...•g ("n mal g") = e, so heisst das kleinst
mögliche solche n die Ordnung von g.
Muss ich dann zeigen, dass [mm] g_1^2,...,g_k^2 [/mm] abelsch sind? Mit [mm] g_1,...,g_k [/mm] element der Gruppe.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
die Gruppenaxiome sind Dir klar?
Was ist unter den gegebenen Voaussetzungen (ab)*(ab)?
Multipliziere nun rechts b und links a heran.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mi 19.10.2011 | | Autor: | AXB |
Ja, die Gruppenaxiome sind mir klar.
G1: assoziativität: (a*b)*c = a*(b*c)
G2: G besitzt neutrales Element e: g*e=e*g=g
G3: Jedes Element besitzt ein Inverses: g*g^-1 = g^-1*g=e
(ab)*(ab)= a*a*b*b | a^-1 *
bab = abb | * b^-1
ba =
Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?
Gruß AXB
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mi 19.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, die Gruppenaxiome sind mir klar.
> G1: assoziativität: (a*b)*c = a*(b*c)
> G2: G besitzt neutrales Element e: g*e=e*g=g
> G3: Jedes Element besitzt ein Inverses: g*g^-1 = g^-1*g=e
>
> (ab)*(ab)= a*a*b*b | a^-1 *
Nein ! Du gehst ja davon aus, dass ab=ba ist. Das sollst Du aber zeigen !
Nach Vor. ist
(ab)(ab)=e
Nun mult. diese Gleichung mit a von links und nutze aus , dass [mm] a^2=e [/mm] ist.
Dann multiplizierst Du die erhaltene Gl. mit b von rechts
FRED
> bab = abb | * b^-1
> ba =
>
> Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?
>
> Gruß AXB
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mi 19.10.2011 | | Autor: | AXB |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass eine Gruppe abelsch ist, wenn jedes Element außer dem neutralen die Ordnung 2 besitzt. |
Die Gruppenaxiome sind doch richtig, wenn "*" die innere Verknüpfung ist.
G1: assoziativität: (a*b)*c = a*(b*c)
G2: G besitzt neutrales Element e: g*e=e*g=g
G3: Jedes Element besitzt ein Inverses: g*g^-1 = g^-1*g=e
Bei dem Beweis geht ja darum das jedes Element die Ordnung zwei besitzt außer e.
Also muss ich doch sagen [mm] g^2 \in [/mm] G .
Bin gerade etwas verwirrt wegen dem (ab)*(ab).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 19.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie, dass eine Gruppe abelsch ist, wenn jedes
> Element außer dem neutralen die Ordnung 2 besitzt.
> Die Gruppenaxiome sind doch richtig, wenn "*" die innere
> Verknüpfung ist.
>
> G1: assoziativität: (a*b)*c = a*(b*c)
> G2: G besitzt neutrales Element e: g*e=e*g=g
> G3: Jedes Element besitzt ein Inverses: g*g^-1 = g^-1*g=e
>
> Bei dem Beweis geht ja darum das jedes Element die Ordnung
> zwei besitzt außer e.
Das ist die Voraussetzung.
> Also muss ich doch sagen [mm]g^2 \in[/mm] G .
Das gilt doch für jedes g [mm] \in [/mm] G.
Vor.: [mm] g^2=e [/mm] für jedes g [mm] \in [/mm] G.
Beh.: sind a,b [mm] \in [/mm] G, so gilt: ab=ba.
So, jetzt Du.
FRED
>
> Bin gerade etwas verwirrt wegen dem (ab)*(ab).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mi 19.10.2011 | | Autor: | AXB |
Wenn ich jetzt a von rechts und b von links ran multipliziere: (Es gilt dann ja auch [mm] b^2 [/mm] = e)
ab = ba
aba = baa
baba = bbaa
(ab)(ab) = e e Ist damit dann die Existens des neutralen Elements bewiesen?
Dann muss man noch zeigen, dass es ein inverses gibt.
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Hallo,
irgendwie hast Du die Aufgabenstellung überhaupt nicht verstanden.
Ich versuche, Dir die Sache zu erklären.
Zu den Grundzutaten Deiner Aufgabe gehört eine Gruppe G.
Weil G eine Gruppe ist, gelten natürlich die Gruppenaxiome.
Die Dir vorliegende Gruppe soll so gemacht sein, daß für jedes Gruppenelement g gilt, daß [mm] g^2=e.
[/mm]
Dies sind die Voraussetzungen, unter denen Du nachdenken mußt.
Nun wird gesagt: mann kann zeigen, daß unter diesen Voraussetzungen die Gruppe G abelsch abelsch ist, dh. daß zusätzlich zu den sowieso nach Voraussetzung geltenden Gruppenaxiomen für alle [mm] a,b\in [/mm] G gilt: ab=ba.
Dies ist die Aussage, die zu beweisen ist.
Die notwendigen Rechnungen hast Du sogar schon ausgeführt, aber irgendwie scheinst Du nicht richtig verstanden zu haben, was Du tust:
> ab = ba
> aba = baa
> baba = bbaa
> (ab)(ab) = e e Ist damit dann die Existens des
> neutralen Elements bewiesen?
> Dann muss man noch zeigen, dass es ein inverses gibt.
Es muß weder die Existenz eines neutralen Elementes noch des Inversen gezeigt werden. Es gibt all das doch nach Voraussetzung!
Starten wir also nochmal neu.
Voraussetzung: G ist Gruppe mit [mm] g^2=e [/mm] für ale [mm] g\in [/mm] G
Zu zeigen: für alle [mm] a,b\in [/mm] G gilt ab=ba.
Beweis:
Seien [mm] a,b\in [/mm] G.
Dann ist [mm] ab\in [/mm] G (Begründung?),
und es gilt
(ab)(ab)=e. (Begründung?)
Nun mach in umgekehrter Richtung so weiter wie oben, bis Du am Ende ab=ba erhältst.
Für jeden Schritt solltest Du eine gute Begründung parat haben.
Gruß v. Angela
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Mi 19.10.2011 | | Autor: | AXB |
Vielen Dank für die tolle und nette Hilfe!
Starten wir also nochmal neu.
Voraussetzung: G ist Gruppe mit $ [mm] g^2=e [/mm] $ für ale $ [mm] g\in [/mm] $ G
Zu zeigen: für alle $ [mm] a,b\in [/mm] $ G gilt ab=ba.
Beweis:
Seien $ [mm] a,b\in [/mm] $ G.
Dann ist $ [mm] ab\in [/mm] $ G (Begründung? weil ab die drei Axiome erfüllt),
und es gilt
(ab)(ab)=e. (Begründung? weil [mm] g^2 \in [/mm] G also ist auch (ab)(ab) [mm] \in [/mm] G, da ab [mm] \in [/mm] G)
Nun mach in umgekehrter Richtung so weiter wie oben, bis Du am Ende ab=ba erhältst :
(ab)(ab) = e mit a von links
a(ab)(ab) = a e
b(ab) = a mit b von rechts
b(ab)b = ab
ba = ab
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> Voraussetzung: G ist Gruppe mit [mm]g^2=e[/mm] für ale [mm]g\in[/mm] G
>
> Zu zeigen: für alle [mm]a,b\in[/mm] G gilt ab=ba.
>
> Beweis:
>
> Seien [mm]a,b\in[/mm] G.
>
> Dann ist [mm]ab\in[/mm] G (Begründung? weil ab die drei Axiome
> erfüllt),
Hallo,
die Begründung ist zu ungenau.
Das gilt, weil die Verknüpfung zweier Gruppenelemente wieder ein Gruppenelelment ergibt. (Schau, ob Du das in Eurer Definition von Gruppe finden kannst.)
>
> und es gilt
>
> (ab)(ab)=e. (Begründung? weil [mm]g^2 \in[/mm] G also ist auch
> (ab)(ab) [mm]\in[/mm] G, da ab [mm]\in[/mm] G)
Die Begründung ist falsch.
ab ist in G. Nach Voraussetzung kommt immer e heraus, wenn man ein Gruppenelement mit sich selbst verknüpft.
> Nun mach in umgekehrter Richtung so weiter wie oben, bis
> Du am Ende ab=ba erhältst :
>
> (ab)(ab) = e mit a von links
> a(ab)(ab) = a e
> b(ab) = a mit b von rechts
> b(ab)b = ab
> ba = ab
Das ist so richtig.
Um Deine Chefs richtig froh zu machen, mußt Du aber auch noch die Klammern immer sinnvoll versetzen und dies mit dem Assoziativgesetz begründen.
Gruß v. Angela
>
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