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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Mi 23.02.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Es seien $ [mm] (A,\*) [/mm] $ eine Gruppe und a ein Element aus A. Zeigen Sie: Die Menge $ <a> := [mm] \{a^{n} | n \in \IZ\} [/mm] $ ist eine Untergruppe von A (dabei sind $ [mm] a^{0} [/mm] := e, [mm] a^k [/mm] := [mm] a\*a\*...\*a [/mm] $ (für $ k [mm] \in \IN$ [/mm] ) und $ [mm] a^{-k} [/mm] := [mm] (a^{-1})^{k}$) [/mm] |
Hallo! Versuche gerade diese Aufgabe nachzuvollziehen. Sie ist schon etwas älter, muss sie also nicht mehr abgeben.
Meine Idee dazu:
$ <a>$ sei Untergruppe von $A $, also gilt:
$ a, b [mm] \in [/mm] <a> [mm] \Rightarrow a\*b \in [/mm] <a> $
$ a [mm] \in [/mm] <a> [mm] \Rightarrow a^{-1} \in [/mm] <a> $
Worauf der Beweis hinaus läuft ist mir klar, aber wie ich das sinnvoll zu Papier bringe eher weniger.
Wenn ich z.B. [mm] $a^{k}$ [/mm] und [mm] $a^{1}$ [/mm] nehme, die ja beide in $<a>$ liegen, ist die Verknüpfung [mm] $a^{k}\*a^{1} [/mm] = [mm] a^{k+1}$ [/mm] auch in $<a>$.
Wird so aber nicht reichen, oder? Und was, wenn $k=n$ gilt, dann wäre [mm] $a^{n}\*a^{1} [/mm] = [mm] a^{n+1}$ [/mm] und das wäre nicht mehr in $<a>$ ??!
Weiter ist mir auch klar, dass für jedes [mm] $a^{k}$ [/mm] ein Inverses [mm] $a^{-k}$ [/mm] existiert, habe aber auch keine Idee wie ich das auf Papier zeige.
Vielen Dank schonmal für jede Antwort, lass mich im Moment auch gern mit der Nase drauf stoßen, verstehen muss ich es ja sowieso. :]
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mi 23.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm](A,\*)[/mm] eine Gruppe und a ein Element aus A. Zeigen
> Sie: Die Menge [mm] := \{a^{n} | n \in \IZ\}[/mm] ist eine
> Untergruppe von A (dabei sind [mm]a^{0} := e, a^k := a\*a\*...\*a[/mm]
> (für [mm]k \in \IN[/mm] ) und [mm]a^{-k} := (a^{-1})^{k}[/mm])
> Hallo!
> Versuche gerade diese Aufgabe nachzuvollziehen. Sie ist
> schon etwas älter, muss sie also nicht mehr abgeben.
>
> Meine Idee dazu:
>
> [mm][/mm] sei Untergruppe von [mm]A [/mm], also gilt:
> [mm]a, b \in \Rightarrow a\*b \in [/mm]
> [mm]a \in \Rightarrow a^{-1} \in [/mm]
>
> Worauf der Beweis hinaus läuft ist mir klar, aber wie ich
> das sinnvoll zu Papier bringe eher weniger.
>
> Wenn ich z.B. [mm]a^{k}[/mm] und [mm]a^{1}[/mm] nehme, die ja beide in [mm][/mm]
> liegen, ist die Verknüpfung [mm]a^{k}\*a^{1} = a^{k+1}[/mm] auch in
> [mm][/mm].
Ja
> Wird so aber nicht reichen, oder?
Nein. Sind [mm] $a^k [/mm] , [mm] a^l \in [/mm] <a>$, so zeige: $ [mm] a^{k}*a^l \in [/mm] <a>$. Aber das ist fast trivial.
> Und was, wenn [mm]k=n[/mm] gilt,
> dann wäre [mm]a^{n}\*a^{1} = a^{n+1}[/mm] und das wäre nicht mehr
> in [mm][/mm] ??!
Wieso denn nicht ????
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> Weiter ist mir auch klar, dass für jedes [mm]a^{k}[/mm] ein
> Inverses [mm]a^{-k}[/mm] existiert, habe aber auch keine Idee wie
> ich das auf Papier zeige.
Ist Dir klar, dass [mm]a^{-k}= (a^{-1})^k=(a^k)^{-1}[/mm] ist ?
FRED
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> Vielen Dank schonmal für jede Antwort, lass mich im Moment
> auch gern mit der Nase drauf stoßen, verstehen muss ich es
> ja sowieso. :]
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Mi 23.02.2011 | | Autor: | chesn |
Danke! Manchmal ist es fast zu trivial.. ich mach mir dann ewig Gedanken und will einen Seitenlangen Beweis formulieren und steh am Ende völlig auf dem Schlauch. Vielen Dank! :)
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