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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] (S^1,\circ) [/mm] eine Gruppe ist, wobei [mm] S^1 \in \IC [/mm] die Einheitssphäre und [mm] \circ [/mm] die übliche komplexe Multiplikation sind. |
Hallo zusammen,
zunächst: Eine Gruppe muss folgende Eigenschaften besitzen:
-Für die Elemente muss die Assoziativität gelten:
[mm] (x\circ y)\circ [/mm] z= [mm] x\circ(y \circz)
[/mm]
- Es muss ein neutrales Element vorhanden sein
-Es muss ein Inverses geben.
Die Gruppe [mm] (S^1,\circ) [/mm] also die Einheitsspähre mit der Verknüpfung „Multiplikation“ sind doch Eben alle Punkte auf dieser Einheitssphäre, die, wenn man sie miteinander multipliziert immer noch Element der Gruppe sind?
Wie muss ich hier argumentieren, um zu zeigen, dass [mm] (S^1,\circ) [/mm] eine Gruppe ist?
Liebe Grüße
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Hallo Theoretix,
> Zeigen Sie, dass [mm](S^1,\circ)[/mm] eine Gruppe ist, wobei [mm]S^1 \red{\in} \IC[/mm]
???
[mm]S^1\subset\IC[/mm]
> die Einheitssphäre und [mm]\circ[/mm] die übliche komplexe
> Multiplikation sind.
> Hallo zusammen,
>
> zunächst: Eine Gruppe muss folgende Eigenschaften
> besitzen:
>
> -Für die Elemente muss die Assoziativität gelten:
>
> [mm](x\circ y)\circ[/mm] z= [mm]x\circ(y \circz)[/mm]
>
> - Es muss ein neutrales Element vorhanden sein
>
> -Es muss ein Inverses geben.
>
> Die Gruppe [mm](S^1,\circ)[/mm] also die Einheitsspähre mit der
> Verknüpfung „Multiplikation“ sind doch Eben alle
> Punkte auf dieser Einheitssphäre, die, wenn man sie
> miteinander multipliziert immer noch Element der Gruppe
> sind?
>
> Wie muss ich hier argumentieren, um zu zeigen, dass
> [mm](S^1,\circ)[/mm] eine Gruppe ist?
Zeige, dass [mm](S^1,\cdot{})[/mm] eine Untergruppe von [mm]\IC[/mm] ist.
Drei Kriterien musst du zeigen. Welche?
Beachte, dass du die komplexen Zahlen auf dem Rand des Einheitskreises schreiben kannst als [mm]z=e^{i\cdot{}\varphi}[/mm] mit [mm]\varphi\in\IR[/mm]
Damit sollte es schnell klappen !?
>
> Liebe Grüße
Ebenso
schachuzipus
>
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[mm] z=e^{i\varphi}
[/mm]
ergibt sich aus einer anderen definierten Schreibweise einer komplexen Zahl z [mm] \in \IC:
[/mm]
[mm] z=|z|e^{i\varphi} [/mm] mit |z|=1, oder?
Also gemäß den Kriterien einer Gruppe muss ich doch jetzt zeigen, dass es ein Innverses gibt, dass die Gruppe ein neutrales Element der Multiplikation besitzt(1) und dass das Assoziativgesetz gilt, oder?
Lautet der Ansatz für die Asooziativität dann:
[mm] (e^{i\varphi}*e^{i\alpha})e^{i\beta}=e^{i\varphi}(e^{i\alpha}*e^{i\beta}) [/mm] ?
wobei die Winkel ja einfach verschiedene komplexe Zahlen auf der Einheitssphäre angeben.
Das neutrale Element (1) habe ich doch mit der komplexen Zahl
(1,0) oder? Da eine Zahl der Gruppe [mm] e^{i\varphi}*(1,0)=e^{i\varphi}?
[/mm]
Stimmt das soweit?
Für ein Inverses muss ja gelten: x [mm] \in [/mm] G, sodass [mm] x\circ [/mm] y=y
Also hier [mm] e^{i\varphi}*x=e
[/mm]
Aber ich kann doch im komplexen nicht einfach das Inverse schreiben als
[mm] (e^{i\varphi})^{-1} [/mm] oder? Also wie zeige ich, dass es ein Inverses gibt?
Gruß
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Huhu,
> [mm]z=e^{i\varphi}[/mm]
>
> ergibt sich aus einer anderen definierten Schreibweise
> einer komplexen Zahl z [mm]\in \IC:[/mm]
>
> [mm]z=|z|e^{i\varphi}[/mm] mit |z|=1, oder?
korrekt.
>
> Also gemäß den Kriterien einer Gruppe muss ich doch jetzt
> zeigen, dass es ein Innverses gibt, dass die Gruppe ein
> neutrales Element der Multiplikation besitzt(1) und dass
> das Assoziativgesetz gilt, oder?
Ja,ja, nein.
Das Assoziativgesetz vererbt sich durch die Assoziatität auf ganz [mm] \IC, [/mm] da ist nix zu zeigen.
Du kannst entweder stupide zeigen:
1.) Die Gruppe ist nicht leer.
2.) Inverse exisitiert
3.) Die Multiplikation ist abgeschlossen auf der Menge
> Das neutrale Element (1) habe ich doch mit der komplexen
> Zahl
> (1,0) oder? Da eine Zahl der Gruppe
> [mm]e^{i\varphi}*(1,0)=e^{i\varphi}?[/mm]
>
> Stimmt das soweit?
Ja, wobei du dich hier entscheiden musst! Entweder du nimmst [mm] \IC [/mm] mit der Darstellung [mm] $re^{i\varphi} [/mm] oder als Teilmenge des [mm] \IR^2.
[/mm]
Beides mischen geht gar nicht.
Wie sieht denn die komplexe Zahl (1,0) in der Form [mm] $re^{i\varphi}aus?
[/mm]
> Für ein Inverses muss ja gelten: x [mm]\in[/mm] G, sodass [mm]x\circ[/mm]
> y=y
> Also hier [mm]e^{i\varphi}*x=e[/mm]
Nein, für ein Inverses muss [mm] $x\circ [/mm] y = e$ sein!
Was ist e, also das neutrale Element, denn hier?
Man man man, Begrifflichkeiten klären!
> Aber ich kann doch im komplexen nicht einfach das Inverse
> schreiben als
> [mm](e^{i\varphi})^{-1}[/mm] oder? Also wie zeige ich, dass es ein
> Inverses gibt?
Wenn du weisst, was e ist, kannst du schon überlegen, welche Komplexe Zahl aus [mm] S_1 [/mm] die Gleichung:
[mm] $e^{i\varphi}*e^{i\psi}$ [/mm] = neutrales Element
Tip: Potenzgesetze!
MFG,
Gono.
PS: Anstatt die drei Kriterien nachzuprüfen gehts auch leichter: Untergruppenkriterium anwenden!
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Wenn ich das Neutrale Element 1 mit [mm] e^{i\varphi} [/mm] ausdrücken möchte, habe ich doch [mm] e^{0} [/mm] (=1) oder?
Dementsprechend ist das Inverse zu [mm] e^{i\varphi}: e^{-i\varphi}, [/mm] da:
[mm] e^{i\varphi}*e^{-i\varphi}=e^0=1 [/mm] (?)
Wenn das stimmt hätte ich doch schon gezeigt, dass es ein neutrales Element und zu jedem [mm] e^{i\varphi} [/mm] ein Inverses gibt.
(Den Untergruppensatz hatten wir noch nicht und sollte leider nicht Teil der Übung sein, trotzdem danke für den Hinweis!=)
Was fehlt, um den „Beweis“ abzuschließen-sofern bisher korrekt?
Gruß
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Huhu,
> Wenn ich das Neutrale Element 1 mit [mm]e^{i\varphi}[/mm]
> ausdrücken möchte, habe ich doch [mm]e^{0}[/mm] (=1) oder?
Korrekt.
>
> Dementsprechend ist das Inverse zu [mm]e^{i\varphi}: e^{-i\varphi},[/mm]
> da:
> [mm]e^{i\varphi}*e^{-i\varphi}=e^0=1[/mm] (?)
Korrekt.
> Wenn das stimmt hätte ich doch schon gezeigt, dass es ein
> neutrales Element und zu jedem [mm]e^{i\varphi}[/mm] ein Inverses
> gibt.
Korrekt.
> Was fehlt, um den „Beweis“ abzuschließen-sofern bisher
> korrekt?
Du hast bisher weder gezeigt, dass das neutrale Element noch das inverse Element Teil der Gruppe ist. Du hast nur die Existenz gezeigt / erwähnt.
Du solltest noch begründen, warum beides in der Menge liegt.
Ebenso hast du noch nicht die Abgeschlossenheit der Multiplikation auf der Gruppe gezeigt.
MFG,
Gono.
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