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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mi 09.01.2008 | | Autor: | JoeMulti |
| Aufgabe | Hi- ich habe ein Problem mit folgender Aufgabenstellung:
Ist die nachstehende Struktur eine Gruppe?
G = {g : [mm] \IR\to\IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] a1 x + a0 | [mm] a0\in \IR, [/mm] a1 [mm] \in\IR [/mm] \ {0}} mit der Komposition von
Funktionen als Verknüpfung.
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Welche Funktionen sind denn hier enthalten? Wie kann ich die denn auf die Verschiedenen Gruppeneigenschaften überprüfen?
Vielen Dank schonmal für Eure Mühe-
gerne gebe ich noch mehr Infos, wenn Diese notwendig sind.
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Do 10.01.2008 | | Autor: | JoeMulti |
Ich habe ich weiter mit dieser Frage beschäftigt und mittlerweile erkannt, dass sich natürlich die Funktion a1 x + a0 verbirgt, sowie die Abbildung von [mm] \IR \to \IR
[/mm]
Kann mir jemand von Euch ein paar Elemente der gesuchten Menge G nennen? Ich komme nicht darauf wie ich Diese Elemente bestimmen kann.
Danke und Gruß
Joe Multi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Do 10.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Jeder Gerade der Form y=mx+b ist Element dieser Menge, ausser die Ursprungsgeraden, da ja [mm] b=a_{0}\ne0 [/mm] gelten soll, und die Parallelen zur x-Achse, weil [mm] m=a_{1}\ne0. [/mm]
Marius
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Grüße!
Hier gemeint ist die Menge aller Abbildungen (oder Funktionen) der reellen Zahlen in sich, die "affin linear" sind. Was das heißt steht in der Definition:
Betrachte alle Abbildungen $g : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] die durch die Vorschrift $g(x) = [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_0$ [/mm] gegeben sind, wobei [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_1$ [/mm] reelle Zahlen mit [mm] $a_1 \not= [/mm] 0$ sind.
Dies ist also eine Menge von Funktionen. Die Frage ist: Bilden diese bzgl. der Hintereinanderausführung (Komposition) eine Gruppe?
In diesem Fall kann man verwenden, dass die Menge ALLER bijektiven Funktionen der reellen Zahlen in sich schon eine Gruppe bildet, Gesetze wie das Assoziativgesetz etc. gelten also automatisch, da sie für bijektive Funktionen gelten. Natürlich ist nachzuweisen, dass die so gebildeten affin linearen Abbildungen $g$ alle bijektiv sind...
Es ist also leichter, in diesem Fall zu zeigen, dass $G$ eine Untergruppe der erwähnten Gruppe aller Funktionen darstellt. Um dies zu beweisen genügt es, drei Dinge zu zeigen:
1) Das neutrale Element ist in $G$ enthalten. (Welches ist das neutrale Element in der Funktionengruppe? Erfüllt es obige Bedingung?)
2) Die Menge ist abgeschlossen unter Komposition. (Was geschieht, wenn man zwei affin lineare Funktionen [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] komponiert? Zu zeigen ist, dass wieder eine affin lineare Funktion herauskommt!)
3) Die Menge ist abgeschlossen unter Inversenbildung. (Wie sieht das Inverse [mm] $g^{-1}$, [/mm] also die Umkehrfunktion einer solch affin linearen Funktion aus? Ist diese wieder affin linear, also ein Element von $G$?)
Wie Du siehst, ist es gar nicht schwer, man sollte sich eben nur klarmachen, was die Objekte sind, mit denen man hier arbeitet.
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 10.01.2008 | | Autor: | JoeMulti |
Danke schonmal für die zwei sehr hilfreichen Antworten.
Ich denke, dass ich dadurch schon einen ganzen Schritt weiter bin.
Folgende Hilfsüberlegung hat mich zu dem hoffentlich richtigen neutralen Element geführt:
Ich nehme zwei Geraden g1 und g2 in der Form :
g1= a1 x + b1
g2 = a2 x + b2
Und setze in die Komposition wie folgt ein:
g3 = a1(a2 x + b2)+b1
Die Neutralität ist hier nur gegeben, wenn a1 =1 und b1=0 sind.
Demnach ist das neutrale Element e=1x+0
Das Inverse Element habe ich wie folgt erarbeitet:
Hier habe ich die Umkehrfunktion zu g1 gebildet.
[mm] g^{-1}=x \bruch{1}{a1} [/mm] + (- [mm] \bruch{b1}{a1})
[/mm]
Und entsprechend geprüft. Wenn ich nun die Gerade g1 mit [mm] g1^{-1} [/mm] verknüpfe erhalte ich wieder g1.
Bleibt allerdings die Assoziativität. Wenn ich die Funktionen dreier Geraden g1,g2,g3 Komponiere ehalte ich unterschiedliche Ergebnisse:
g1(g2(g3)) [mm] \not= [/mm] g3(g1(g2))
Kann das sein?
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hi joe,
Assoziativität (bzgl. der Komposition von Abbildungen) heißt doch
[mm] g_1 \circ( g_2 \circ g_3) [/mm] = [mm] (g_1 \circ g_2 )\circ g_3 [/mm]
oder in anderer Schreibweise:
[mm] g_1 (g_2 (g_3)) [/mm] = [mm] (g_1 (g_2)) (g_3)
[/mm]
und wenn mich nicht alles täuscht, müsste das auch erfüllt sein.
Auf jeden Fall darf die Assozitivität nicht verletzt sein, da diese ein Gruppenaxiom ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Fr 18.01.2008 | | Autor: | JoeMulti |
Danke- Ich habe mich verrechnet ( Ich hatte ein Problem mit der Schreibweise der Komposition )-
Die Assoziativität ist nicht verletzt.
Gruß
Joe
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