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| Aufgabe | | Warum muss nach der Definition der Gruppenstruktur einer elliptischen Kurve das Neutralelement ein Wendepunkt sein? |
Hallo zusammen,
ich würde mich freuen, wenn mir jemand zu obiger Frage helfen könnte.
Viele Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Sa 23.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Warum muss nach der Definition der Gruppenstruktur einer
> elliptischen Kurve das Neutralelement ein Wendepunkt sein?
Wie definierst du Wendepunkt? Und über welchem Körper bist du?
Dumme Frage. Hab mich vom deutschen Ausdruck verwirren lassen  Die algebraische Vielfachheit des Schnittes der Kurve mit der Tangente an der Stelle muss mindestens 2 sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Sa 23.01.2016 | | Autor: | tasjasofie |
Hallo Felix,
> Das hängt stark von der Definiton ab. Wenn [mm]E[/mm] eine
> elliptische Kurve ist und [mm]P[/mm] ein beliebiger Punkt auf
> dieser, so gibt es (genau) eine Gruppenoperation [mm]+ : E \times E \to E[/mm]
> mit [mm]P[/mm] als neutrales Element. Damit gibt es natürlich ganz
> viele Möglichkeiten, [mm]P[/mm] nicht als Wendepunkt zu wählen.
>
> Es hängt also davon ab, wie ihr die Gruppenstruktur
> definiert habt.
> Genau so haben wir sie definiert, E sei eine elliptische Kurve, Gruppenoperation +, neutrales Element O und das Inverse zu einem Punkt P ist -P.
> Ich gehe mal davon aus, dass ihr mit der Weierstrassform
> arbeitet.
Genau, wir arbeiten mit der Weierstraßschen Normalform, also die kurze, im affine [mm] y^2 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + ax + b
Dort ist es nun so, dass [mm]3 O[/mm] (mit [mm]O[/mm] dem
> unendlichen Punkt) ein Hauptdivisor auf der Kurve ist. Das
> ist äquivalent dazu, dass [mm]O + O + O[/mm] auf der Kurve gleich
> dem neutralen Element ist. Wenn [mm]O[/mm] das neutrale Element ist,
> kann man aus dieser Eigenschaft [mm]3 O = Hauptdivisor[/mm] folgern.
> Aus [mm]3 O = div(f)[/mm] für eine Funktion [mm]f[/mm] folgt, dass [mm]f[/mm] Grad 1
> haben muss, also eine Gerade ist: damit ist [mm]f[/mm] eine Gerade,
> die die elliptische Kurve nur in [mm]O[/mm] schneidet und dort
> Schnittmultiplizität 3 hat. Also...?
> ... ist es ein Wendepunkt :)
> LG Felix
>
Herzlichen Dank für deine tolle Erklärung!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Sa 23.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Warum muss nach der Definition der Gruppenstruktur einer
> elliptischen Kurve das Neutralelement ein Wendepunkt sein?
Das hängt stark von der Definiton ab. Wenn $E$ eine elliptische Kurve ist und $P$ ein beliebiger Punkt auf dieser, so gibt es (genau) eine Gruppenoperation $+ : E [mm] \times [/mm] E [mm] \to [/mm] E$ mit $P$ als neutrales Element. Damit gibt es natürlich ganz viele Möglichkeiten, $P$ nicht als Wendepunkt zu wählen.
Es hängt also davon ab, wie ihr die Gruppenstruktur definiert habt.
Ich gehe mal davon aus, dass ihr mit der Weierstrassform arbeitet. Dort ist es nun so, dass $3 O$ (mit $O$ dem unendlichen Punkt) ein Hauptdivisor auf der Kurve ist. Das ist äquivalent dazu, dass $O + O + O$ auf der Kurve gleich dem neutralen Element ist. Wenn $O$ das neutrale Element ist, kann man aus dieser Eigenschaft $3 O = Hauptdivisor$ folgern. Aus $3 O = div(f)$ für eine Funktion $f$ folgt, dass $f$ Grad 1 haben muss, also eine Gerade ist: damit ist $f$ eine Gerade, die die elliptische Kurve nur in $O$ schneidet und dort Schnittmultiplizität 3 hat. Also...?
LG Felix
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