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| Aufgabe | Sei [mm] $\varphi [/mm] : [mm] G_1 \rightarrow G_2 [/mm] $ ein Gruppenhomorphismus. Zeigen sie folgende Behauptungen:
a) Ist [mm] $H_2 \subseteq G_2$ [/mm] eine Untergruppe, dann ist [mm] $\varphi^{-1}(H_2)$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] $G_1$.
[/mm]
b) Ist [mm] $H_1 \subseteq G_1$ [/mm] eine Untergruppe, dann ist [mm] $\varphi (H_1)$ [/mm] eine Untergruppe von [mm] $G_2$.
[/mm]
c) [mm] $\varphi$ [/mm] ist injektiv [mm] \Longleftrightarrow $ker(\varphi) [/mm] = {e}$. |
Hallo,
leider habe ich für obige Behauptung gar keine Idee, wie ich sie beweisen könnte. Dass sie alle richtig sind, erscheint mir sinnvoll, aber ich kann sie eben nicht beweisen.
Kann mir da jemand helfen?
mfg,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\varphi : G_1 \rightarrow G_2[/mm] ein Gruppenhomorphismus.
> Zeigen sie folgende Behauptungen:
>
> a) Ist [mm]H_2 \subseteq G_2[/mm] eine Untergruppe, dann ist
> [mm]\varphi^{-1}(H_2)[/mm] eine Untergruppe von [mm]G_1[/mm].
>
> b) Ist [mm]H_1 \subseteq G_1[/mm] eine Untergruppe, dann ist [mm]\varphi (H_1)[/mm]
> eine Untergruppe von [mm]G_2[/mm].
>
> c) [mm]\varphi[/mm] ist injektiv [mm]\Longleftrightarrow[/mm] [mm]ker(\varphi) = {e}[/mm].
>
> Hallo,
>
> leider habe ich für obige Behauptung gar keine Idee, wie
> ich sie beweisen könnte. Dass sie alle richtig sind,
> erscheint mir sinnvoll, aber ich kann sie eben nicht
> beweisen.
>
> Kann mir da jemand helfen?
Schauen wir uns mal b) an.
zeigen mußt Du: aus a,b [mm] \in [/mm] $ [mm] \varphi (H_1) [/mm] $ folgt: ab, [mm] a^{-1} \in [/mm] $ [mm] \varphi (H_1) [/mm] $
Probiers mal, dann sehen wir weiter.
FRED
>
> mfg,
> Michael
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zu b)
hab ne Idee:
[mm] $H_2 [/mm] := [mm] \{a \in G_2 | \varphi (b) = a, b \in H_1\} \rightarrow H_2 \subseteq [/mm] G_"$
$Sei [mm] h_1', h_1'' \in H_1$
[/mm]
(U1) $a,b [mm] \in [/mm] H$ [mm] $\rightarrow$ [/mm] $ab [mm] \in [/mm] H$
Def: [mm] $\varphi (a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)$
[/mm]
[mm] $\varphi (h_1')*\varphi(h_1'')= \varphi (h_1' [/mm] * [mm] h_1'')$
[/mm]
---> U1 iat erfüllt
U2 neutrales Element:
H1 ist Untergruppe G1 ---> neutrales Element von G1 ist auch in H1.
[mm] $\varphi(e1)=e2$ [/mm] da e2 in H2 und gleichzeitig in G2 ---> U2 erfüllt
U3:
inverses existiert ebenfalls, (beweis recht lange, schreibe ich hier nicht ;))
somit ist U3 erfüllt
Damit ist H2 Untergruppe von G2
passt die Beweisführung in etwa?
mfg,
Michael
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Hallo Michael,
> zu b)
> hab ne Idee:
>
> [mm]H_2 := \{a \in G_2 | \varphi (b) = a, b \in H_1\} \rightarrow H_2 \subseteq G_" "="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$%252524%2524%24$">">">H_2%20%3A%3D%20%5C%7Ba%20%5Cin%20G_2%20%7C%20%5Cvarphi%20%28b%29%20%3D%20a%2C%20b%20%5Cin%20H_1%5C%7D%20%5Crightarrow%20H_2%20%5Csubseteq%20G_$" "="">
>
> [keineahnung]
>
> Damit ist H2 Untergruppe von G2
Das ist doch gar nicht zu zeigen ...
zu zeigen ist, dass ![$\varphi(H_1)[/mm] eine Untergruppe von [mm]G_2[/mm] ist.
</font>
<font class=]()
(U1): zu zeigen: [mm]\varphi(H_1)\neq\emptyset[/mm] bzw. äquivalent [mm]e_{G_2}\in\varphi(H_1)[/mm]
Ist das so?
Nun, nach Vor. ist [mm]H_1[/mm] Untergruppe von [mm]G_1[/mm], enthält also [mm]e_{G_1}[/mm]
Und [mm]\varphi(e_{G_1})=e_{G_2}[/mm]
Also [mm]e_{G_2}\in\varphi(H_1)[/mm]
(U2): zu zeigen: Für alle [mm]g,g'\in\varphi(H_1)[/mm] gilt: [mm]gg'\in\varphi(H_1)[/mm]
Seien also [mm]g,g'\in\varphi(H_1)[/mm], dann ex. [mm]h,h'\in H_1[/mm] mit [mm]g=\varphi(h), g'=\varphi(h')[/mm]
Also [mm]gg'=\varphi(h)\varphi(h')=\varphi(hh')[/mm] da [mm]\varphi[/mm] Homom. ist.
Weiter ist [mm]hh'=\tilde h\in H_1[/mm], da [mm]H_1[/mm] Untergruppe
Also [mm]gg'=\varphi(\tilde h)\in \varphi(H_1)[/mm], also [mm]gg'\in\varphi(H_1)[/mm]
(U3): zu zeigen: Für alle [mm]g\in\varphi(H_1)[/mm] ist auch [mm]g^{-1}\in\varphi(H_1)[/mm]
Sei also [mm]g\in\varphi(H_1)[/mm], dann ex. [mm]h\in H_1[/mm] mit [mm]\varphi(h)=g[/mm]
Weiter ist mit [mm]h\in H_1[/mm] auch [mm]h^{-1}\in H_1[/mm], da [mm]H_1[/mm] Untergruppe ist.
Den kleinen Rest machst du noch ...
>
> passt die Beweisführung in etwa?
>
> mfg,
> Michael
>
>
Gruß
schachuzipus
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