Gruppenhomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper, [mm] c\in [/mm] K*, m [mm] \in \mathbb{N} [/mm] nicht durch char(K) teilbar und [mm] f=t^m-c. [/mm] Ein Zerfällungskörper von f über K hat die Form [mm] K(\alpha, \zeta) [/mm] mit einer Nullstelle [mm] \alpha [/mm] von f und einer primitiven m-ten Einheitswurzel [mm] \zeta. [/mm] Zur Beschreibung seiner Galoisgruppe dient das semidirekte Produkt [mm] S=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) [/mm] * mit der Verknüpfung [mm] (\overline{a},\overline{k}) \circ (\overline{b},\overline{l}) [/mm] = [mm] (\overline{a+b},\overline{kl}).
[/mm]
Zu zeigen ist, dass es einen injektiven Gruppenhomomorphismus
J: Gal(f|K) [mm] \to [/mm] S, [mm] \sigma \mapsto (\overline{a},\overline{k}) [/mm] falls [mm] \sigma(\alpha) [/mm] = [mm] \zeta^a \alpha [/mm] und [mm] \sigma(\zeta)=\zeta^k [/mm] gibt. |
Ich muss doch folgendes zeigen:
1) [mm] \sigma(\alpha) [/mm] = [mm] \zeta^a \alpha [/mm] und [mm] \sigma(\zeta)=\zeta^k.
[/mm]
2) J ist Gruppenhomomorphismus
3) J ist injektiv.
Ich bräuchte hierbei Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:21 Mo 07.07.2008 | | Autor: | SEcki |
> Zur Beschreibung seiner Galoisgruppe dient das
> semidirekte Produkt [mm]S=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})[/mm]
> * mit der Verknüpfung [mm](\overline{a},\overline{k}) \circ (\overline{b},\overline{l})[/mm]
> = [mm](\overline{a+b},\overline{kl}).[/mm]
Ist das die dEfinition vom Produkt? Das ist eher direkt (und es kracht dann mit dem Hom unten ...), wie wäre es denn mit:
[m](\overline{a},\overline{k}) \circ (\overline{b},\overline{l}) = (\overline{a*l+b},\overline{kl})[/m] (Multiplikation mit Einheiten ist ein Autmorphismus der Gruppe).
> Zu zeigen ist, dass es einen injektiven
> Gruppenhomomorphismus
> J: Gal(f|K) [mm]\to[/mm] S, [mm]\sigma \mapsto (\overline{a},\overline{k})[/mm]
> falls [mm]\sigma(\alpha)[/mm] = [mm]\zeta^a \alpha[/mm] und
> [mm]\sigma(\zeta)=\zeta^k[/mm] gibt.
> Ich muss doch folgendes zeigen:
>
> 1) [mm]\sigma(\alpha)[/mm] = [mm]\zeta^a \alpha[/mm] und
> [mm]\sigma(\zeta)=\zeta^k.[/mm]
Ja, du musst zB zeigen, dass für ein Element der Galoisgruppe eben solche Gleichungen gelten, also im Wesentlichen steht da: eine Nullstelle von f wird auf eine Nullstelle von f, eine Einheitswuurzel auf eine Einheitswurzel abgebildet. Warum ist das so? Sollte doch in der Vorlesung gewesen sein, oder?
> 2) J ist Gruppenhomomorphismus
Einfach mal nachrechnen - nimm [m]\tau \sigma (\alpha)[/m] und fürhe nacheinander die schritte aus. Daher kommt auch mein Vorschlag für das semi-direkte Produkt.
> 3) J ist injektiv.
Zeige am leichtesten: der Kern ist trivial. Also [m]\sigma(\alpha)=\zeta^0 \alpha[/m], [m]\sigma(\zeta)=\zeta^1[/m] - was folgt dann?
SEcki
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| Aufgabe | | Sei K [mm] =\mathbb{Q} [/mm] und [mm] f=t^{14}-12. [/mm] |
Zeige, dass dann die Abbildung J ein Isomorphismus ist, oder geben Sie ein Element von
S\ Bild(J) an.
Was kann man denn hier am besten machen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 11.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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