Gruppenhomomorphismen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Di 02.11.2004 | | Autor: | cooney |
Hallo leute,
hab gerade mein Wima studium angefangen und seh irgendwie schon nicht mehr durch bei den übungsaufgaben, die im nachhinein eigentlich gar nicht so schwer sind, nur fehlen mir immer die ansätze.
also jetzt zu meinem konkreten problem:
(1) Zeigen sie dass die nacheinanderausführung von gruppenhomomorphismen wieder ein gruppenhomomorphismus ist.
(2)geben sie einen isomorphismus zwischen der gruppe der reellen zahlen mit der addition [mm] (\IR,+) [/mm] und der gruppe der positiven reellen zahlen mit der multiplikation ( [mm] \IR [/mm] >0,*)an.
hab da noch ein problem undzwar:
geben sie alle untergruppen der S3 an.
sind das jetzt (1,2,3);(1,3,2);(3,2,1);(2,1,3);(2,3,1);(3,1,2)? oder was wollen die wissen??
wäre für hilfe echt dankbar!!!
cooney
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Di 02.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Cooney!
Also, zu Aufgabe (1):
Am besten ist es, wenn du erstmal drei Gruppen einführst, z.B. (A,+), (B,+) und (C,+). Weiter definierst du nun die beiden vorausgesetzen Gruppenhomomorphismen $f: [mm] A\to [/mm] B$ und $g: [mm] B\to [/mm] C$. Du sollst nun zeigen, dass [mm] $h:=g\circ [/mm] f: [mm] A\to [/mm] C$ wieder ein Gruppenhomomorphismus ist. Nun musst du zeigen, dass für beliebige [mm] $a_1,a_2\in [/mm] A$ die Gleichung [mm] $h(a_1+a_2)=h(a_1)+h(a_2)$ [/mm] gilt. Dies zeigst du nun am besten, indem du dir klar machst, als was h eigenlitch definiert ist und dann einfach die bekannten Homomorphiegesetze der Homomorphismen f und g anwendest. Versuch's einfach mal, bei Problemen kriegst du neue Tips oder entsprechende Hilfe :)
Zu Aufgabe (2):
Hier spreche ich nur einmal leise einen Tip aus, der auch schon fast die ganze Lösung ist: Verwende die Logarithmusfunktion, um den gesuchten Homomorphismus zu finden. Wenn dudas hast musst du nur noch zeigen, dass er bijektiv ist und du bist fertig.
Viel Erfolg!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Di 02.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Und zur letzten Aufgabe kannst du ![[]](/images/popup.gif) dieses File zur Kontrolle nehmen.
Weißt du denn überhaupt, was Untergruppen sind? (Den Eindruck habe ich nämlich nicht.)
Zur zweiten Aufgabe: So, wie die Reihenfolge der Mengen angegeben ist, sollte man die Exponential- und nicht die Logarithmusfunktion nehmen (schreibe ich nur, damit dich Hannos Tipp nicht verwirrt; der Tipp ist aber nicht falsch).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Di 02.11.2004 | | Autor: | cooney |
also bis eben dachte ich, ich weiß was untergruppen sind. aber Dein diagramm hat mich jetzt irgendwie total verwirrt.
ich dachte, dass die untergruppen der s3 die einzelnen permutationen sind. die ich ja auch in Deinem diagramm gefunden habe, jedoch sehe ich irgendwie nicht so recht den zusammenhang zwischen den einzelnen permutationen in dem diagramm.
könntest du mir das mal kurz erklären? ansonsten ist das ding ein buch mit sieben siegeln für mich.
aber trotzdem erstmal danke euch beiden!
cooney
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Hallo Cooney!
Also, ganz langsam... die [mm] $S_3$ [/mm] besteht aus Permutationen, das heißt die ELEMENTE der Gruppe sind Permutationen.
Ganz allgemein gilt: wenn man eine Gruppe $G$ hat, dann ist eine Untergruppe von $G$ eine TEILMENGE $U [mm] \subseteq [/mm] G$, für die gilt:
i) $e [mm] \in [/mm] U$ (mit $e$ ist das Einselement der Gruppe gemeint)
ii) Falls $g,h [mm] \in [/mm] U$, dann gilt: $g [mm] \circ [/mm] h [mm] \in [/mm] U$ (diese Eigenschaft heißt auch "Abgeschlossenheit bzgl. der Gruppenoperation")
iii) Falls $u [mm] \in [/mm] U$, dann gilt: [mm] $u^{-1} \in [/mm] U$.
Im Klartext: man hat eine Teilmenge, die das neutrale Element enthält und zu jedem Element auch das Inverse. Außerdem führt einen die Verknüpfung in der Gruppe nicht aus der Teilmenge raus, d.h. wenn ich zwei beliebige Elemente der Untergruppe verknüpfe, bleibe ich in der Untergruppe.
Ein Beispiel hast Du in der Aufgabe davor schon gesehen: als Gruppe nimmst Du die Menge der reellen Zahlen ohne die 0 und als Verknüpfung die Multiplikation. Das ist eine Gruppe (neutrales Element ist die 1).
Die Menge der positiven Zahlen ist eine Teilmenge davon, die alle Eigenschaften einer Untergruppe erfüllt: die 1 ist dabei, wenn man zwei positive Zahlen multipliziert ist das Ergebnis wieder positiv und das Inverse einer positiven Zahl $a$ (der "Kehrwert" [mm] $\frac{1}{a}$) [/mm] ist auch positiv.
Du mußt jetzt also alle Teilmengen der [mm] $S_3$ [/mm] anschauen, die diese Eigenschaften erfüllen, also Mengen von Permutationen, die unter Verknüpfung abgeschlossen sind etc.
Und als Kontrolle gibt es diese Multiplikationstabellen: aus der ganzen Tabelle der [mm] $S_3$ [/mm] (die 6 mal 6 Felder hat) sind einige Felder weggelassen worden - das sind die Elemente, die wir nicht in die Teilmenge aufgenommen haben.
Und noch ein Hinweis: die ganze Gruppe $G$ und die triviale Gruppe [mm] $\{ e \}$ [/mm] sind natürlich immer Untergruppen von $G$. Wenn man echte Untergruppen sucht, kann man $G$ auch weglassen...
Und jetzt viel Spaß beim Suchen! 
Lars
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