Gruppenhomom., Ker(f), Im(f) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen f Gruppenhomomorphismen sind und berechnen Sie in diesen Fällen Ker(f) und Im(f):
(a) f: [mm] (\IZ,+) \times (\IZ,+) \to (\IR,+), [/mm] f(m,n)=2m+3n;
(b) f: [mm] (\IQ/{0},\*) \to (\IQ,+), [/mm] f(x)=x; ( [mm] \IQ/{0} [/mm] = [mm] \IQ [/mm] ohne 0 )
(c) f: G [mm] \to [/mm] G ,f(a) = gah für eine beliebige Gruppe G und gegebene g,h [mm] \in [/mm] G |
Hi,
meine Lösungen:
(a)
Sei [mm] (\IZ,+) \times (\IZ,+) [/mm] := G , [mm] (\IR,+) [/mm] := H
Frage: die Verknüpfung von G ist doch "+", oder? Was wäre die Verknüpfung von [mm] (\IZ,+) \times (\IQ_{> 0}, \*) [/mm] ?
Seien (m,n), (p,q) [mm] \in [/mm] G
f((m,n) + (p,q)) = f((m+p,n+q)) = 2(m+p) +3(n+q)
f((m,n)) + f((p,q)) = (2m+3n) + (2p+3q) = 2(m+p) +3(n+q) (darf ich hier die Summanden einfach umordnen oder muss ich erst zeigen, dass G abelsch ist?)
[mm] \Rightarrow [/mm] f:G [mm] \to [/mm] H ist ein Gruppenhomomorphismus
Im(f) = {f(a) | a [mm] \in [/mm] G} = [mm] (2\IZ, 3\IZ) [/mm] ???
Ker(f) = {a [mm] \in [/mm] G| f(a) = [mm] e_{H}=0} [/mm] = {m,n [mm] \in \IZ| [/mm] 2m+3n=0}
(b)
Seien x,y [mm] \in (\IQ/{0},\*)
[/mm]
f(xy) = xy [mm] \not= [/mm] x+y = f(x) + f(y)
[mm] \Rightarrow [/mm] f: [mm] (\IQ/{0},\*) \to (\IQ,+) [/mm] ist kein Gruppenhomom.
(c)
Seien a,b [mm] \in [/mm] G (wenn keine Verknüpfung angegeben ist, nimmt man immer [mm] \* [/mm] an, also "mal" , oder?)
f(ab) = gabh [mm] \not= [/mm] gah * gbh = f(a) * f(b)
[mm] \Rightarrow [/mm] f: G [mm] \to [/mm] G ist kein Gruppenhomom.
Habe ich das so richtig gemacht?
Danke für Feedback
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> Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen f
> Gruppenhomomorphismen sind und berechnen Sie in diesen
> Fällen Ker(f) und Im(f):
> (a) f: [mm](\IZ,+) \times (\IZ,+) \to (\IR,+),[/mm] f(m,n)=2m+3n;
> (b) f: [mm](\IQ/{0},\*) \to (\IQ,+),[/mm] f(x)=x; ( [mm]\IQ/{0}[/mm] = [mm]\IQ[/mm]
> ohne 0 )
> (c) f: G [mm]\to[/mm] G ,f(a) = gilt für eine beliebige Gruppe G
> und gegebene g,h [mm]\in[/mm] G
Hier fehlt doch was.
> Hi,
>
> meine Lösungen:
>
> (a)
> Sei [mm](\IZ,+) \times (\IZ,+)[/mm] := G , [mm](\IR,+)[/mm] := H
> Frage: die Verknüpfung von G ist doch "+", oder? Was
> wäre die Verknüpfung von [mm](\IZ,+) \times (\IQ_{> 0}, \*)[/mm]
siehe anderes Thema
> ?
>
> Seien (m,n), (p,q) [mm]\in[/mm] G
> f((m,n) + (p,q)) = f(m+p,n+q) = 2(m+p) +3(n+q)
> f(m,n) + f(p,q) = (2m+3n) + (2p+3q) = 2(m+p) +3(n+q)
> (darf ich hier die Summanden einfach umordnen oder muss ich
> erst zeigen, dass G abelsch ist?)
Was ist G? Setze mal voraus, das sowohl [mm](\IZ,+)[/mm] also auch [mm](\IR,+)[/mm] kommutativ sind.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f:G [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
H ist ein Gruppenhomomorphismus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Im(f) = {f(a) | a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G} = [mm](2\IZ, 3\IZ)[/mm] ???
Wohl besser nicht als geordnetes Paar, also lieber so: [mm]2\IZ+3\IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ker(f) = {a [mm]\in[/mm] G| f(a) = [mm]e_{H}=0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {m,n [mm]\in \IZ|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 2m+3n=0}
>
>
> (b)
> Seien x,y [mm]\in (\IQ/{0},\*)[/mm]
> f(xy) = xy [mm]\not=[/mm] x+y = f(x) +
> f(y)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f: [mm](\IQ/{0},\*) \to (\IQ,+)[/mm] ist kein
> Gruppenhomom.
>
>
> (c)
> Seien a,b [mm]\in[/mm] G (wenn keine Verknüpfung angegeben ist,
> nimmt man immer [mm]\*[/mm] an, also "mal" , oder?)
Es ist halt nicht die gewöhnliche Multiplikation die man kennt, sondern nur eine Schreibweise.
> f(ab) = gabh [mm]\not=[/mm] gah * gbh = f(a) * f(b)
Dann könntest du auch konsequenter Weise schreiben
[mm]f(ab) = gabh \neq gahgbh = f(a) * f(b)[/mm]
Was ist falls [mm]g=h=e[/mm] oder [mm]g=h^{-1}[/mm] ??
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> [mm]\Rightarrow[/mm] f: G [mm]\to[/mm] G ist kein Gruppenhomom.
in deinem Fall ja.
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> Habe ich das so richtig gemacht?
> Danke für Feedback
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