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| Aufgabe 1 | Sind folgende Mengen Gruppen?
[mm] $(\IZ_8,\circ)$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IZ_8$ [/mm] und [mm] $a\circ b:=(3a+b)\bmod [/mm] 8$ |
| Aufgabe 2 | | [mm] $(\IZ_8,\circ)$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IZ_8$ [/mm] und [mm] $a\circ b:=(a^2+b^2)\bmod [/mm] 8$ |
Hey ihr Lieben,
ich habe gerade eine ähnliche Aufgabe bekommen, der Inhalt ist aber der Selbe. Ich habe diese auch bereits gelöst, bin mir nur unsicher, ob diese Lösung auch stimmt - kam mir ein wenig zu einfach vor:
Meine Antwort: Beides sind keine Gruppen, noch nicht einmal Halbgruppen, da die Assoziativität nicht erfüllt ist:
[mm] $(a\circ b)\circ [/mm] c &= [mm] a\circ (b\circ c)\iff [/mm] 3(3a+b)+c = 9a+3b+c [mm] \neq [/mm] 3a+6b+3c = 3a+(3b+c)$
bzw
[mm] $(a\circ b)\circ [/mm] c &= [mm] a\circ (b\circ [/mm] c) [mm] \iff (a^2+b^2)^2+c^2 [/mm] = [mm] a^4+2(ab)^2+b^4+c^2 &\neq a^2+b^4+2(bc)^2+c^4 [/mm] = [mm] a^2+(b^2+c^2)^2$
[/mm]
Vielleicht eine kurze Bestätigung, ob ich richtig liege, bzw einen kleinen Deut, wo ich mich verrenne?
Vielen, vielen Dank!
alex.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo thissideup,
Du liegst vollkommen richtig.
Die Assoziativität ist nicht für alle a,b,c erfüllt, bei beiden Verknüpfungen nicht.
Grüße
reverend
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