Gruppenaxiome abgeschwächt < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Di 14.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Abschwächung der Gruppenaxiome:
Sei (G, [mm] \circ) [/mm] ein Guppoid. Sind folgende Eigenschaften erfüllt, dann ist G eine Gruppe
(G1) Assoziativgesetz: [mm] \forall [/mm] g,h,k [mm] \in [/mm] G: [mm] (g\circ [/mm] h) [mm] \circ [/mm] k = g [mm] \circ [/mm] (h [mm] \circ [/mm] k),
(G2') Linkseinselement: [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] G: [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G: e [mm] \circ [/mm] g =g
(G3') Linksinverse: [mm] \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G: [mm] \exists g^{-1} \in [/mm] G: [mm] g^{-1} \circ [/mm] g =e |
Hallo,
Für das Inverse hab ich jetzt so lange herumgerechnet bis ich aucf einen ganz einfachen Beweis gekommen bin - nun bin ich stutzig ob ich was verwende, was man nicht verwenden darf..
Sei g [mm] \in [/mm] G beliebig gewählt.
Sei [mm] g^{-1}\in [/mm] G linksinverses von g: [mm] g^{-1} \circ [/mm] g =e
ZZ.: g [mm] \circ g^{-1} [/mm] = e
Beweis: e = (g [mm] \circ g^{-1})^{-1} \circ [/mm] (g [mm] \circ g^{-1})= (g^{-1} \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ g^{-1}) [/mm] = e [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ g^{-1})= [/mm] g [mm] \circ g^{-1}
[/mm]
Darf man wegen der abgeschwächten Axiome doppelte Inversion und dass sich die Verknüpfung umdreht verwenden?
PS.: Beim Einselement bin ich noch nicht ;)
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Di 14.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Abschwächung der Gruppenaxiome:
> Sei (G, [mm]\circ)[/mm] ein Guppoid. Sind folgende Eigenschaften
> erfüllt, dann ist G eine Gruppe
> (G1) Assoziativgesetz: [mm]\forall[/mm] g,h,k [mm]\in[/mm] G: [mm](g\circ[/mm] h)
> [mm]\circ[/mm] k = g [mm]\circ[/mm] (h [mm]\circ[/mm] k),
> (G2') Linkseinselement: [mm]\exists[/mm] e [mm]\in[/mm] G: [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G:
> e [mm]\circ[/mm] g =g
> (G3') Linksinverse: [mm]\forall[/mm] g [mm]\in[/mm] G: [mm]\exists g^{-1} \in[/mm] G:
> [mm]g^{-1} \circ[/mm] g =e
>
>
> Hallo,
> Für das Inverse hab ich jetzt so lange herumgerechnet bis
> ich aucf einen ganz einfachen Beweis gekommen bin - nun bin
> ich stutzig ob ich was verwende, was man nicht verwenden
> darf..
>
> Sei g [mm]\in[/mm] G beliebig gewählt.
> Sei [mm]g^{-1}\in[/mm] G linksinverses von g: [mm]g^{-1} \circ[/mm] g =e
> ZZ.: g [mm]\circ g^{-1}[/mm] = e
> Beweis: e = (g [mm]\circ g^{-1})^{-1} \circ[/mm] (g [mm]\circ g^{-1})= (g^{-1} \circ[/mm]
> g) [mm]\circ[/mm] (g [mm]\circ g^{-1})[/mm] = e [mm]\circ[/mm] (g [mm]\circ g^{-1})=[/mm] g
> [mm]\circ g^{-1}[/mm]
die Idee ist gar nicht so schlecht. Das Problem besteht aber an zwei
Stellen:
1. Wieso gilt $(a [mm] \circ b)^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}$?
[/mm]
Der Beweis dieser Gleichung bedarf der Eindeutigkeit des inversen
Elementes. Das bekommen wir also nicht repariert...
2. Woher weißt Du [mm] ${(a^{-1})}^{-1}=a$?
[/mm]
Gleiches Problem...
> Darf man wegen der abgeschwächten Axiome doppelte
> Inversion und dass sich die Verknüpfung umdreht
> verwenden?
Nein. Und dennoch steckt oben eine entscheidende Idee mit drin:
Sei $g [mm] \in G\,.$ [/mm] Dann gibt es ein LINKS-inverses [mm] $g^{-1} \in [/mm] G$ mit
[mm] $g^{-1} \circ g=e\,.$
[/mm]
Auch für dieses Linksinverses gibt es ein Linksinverses, wir könnten es
als
[mm] ${(g^{-1})}^{-1} \in [/mm] G$
notieren, ich schreibe aber mal [mm] $L(g)\,.$ [/mm] ("Linksinverses von [mm] $\textbf{g}$").
[/mm]
Es gilt also
[mm] ($\*$) [/mm] $L(g) [mm] \circ g^{-1}=e\,.$
[/mm]
Erst später werden wir [mm] $L(g)=g\,$ [/mm] folgern können (da wir dann sehen, dass
wir wirklich eine Gruppe haben).
Nun gilt
$g [mm] \circ g^{-1}=\red{(}e \circ g\red{)}\circ g^{-1}=\red{(}(L(g) \circ g^{-1}) \circ g\red{)} \circ g^{-1}=...=L(g) \circ g^{-1}\,.$
[/mm]
Wir jetzt einen Blick auf [mm] ($\*$), [/mm] und Du bist...?
P.S. Du findest diesen Satz auch in
Algebra (Meyberg, Karpfinger), 2. Auflage, 2.1.3 (Schwaches Axiomensystem), S. 18f.
P.P.S. Ein weiterer Hinweis: Wenn Du die [mm] $\ldots$ [/mm] (Rechnung!) ergänzt, beachte bitte, dass
Du zwar nicht $L(g) [mm] \circ [/mm] e=L(g)$ verwenden kannst [mm] ($e\,$ [/mm] ist ja bisher nur als linksneutral
bekannt), aber Du darfst das Assoziativgesetz und $e [mm] \circ g^{-1}=g^{-1}$ [/mm] benutzen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Mi 15.10.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Marcel,
Ich hab mir schon gedacht, dass es so nicht funktioniert weil man für die Beweise die Eindeutigkeit des Inversen benötigt.
Sei g [mm] \in [/mm] G beliebig.
Sei [mm] g^{-1}\in [/mm] G linksinverses: [mm] g^{-1} \circ [/mm] g=e
ZZ.: g [mm] \circ g^{-1} [/mm] = e
Für das Linksinverse [mm] g^{-1} [/mm] gibt es ein Linksinverses [mm] (g^{-1})^{-1} \in [/mm] G:
[mm] (g^{-1})^{-1} \circ g^{-1}= [/mm] e
g [mm] \circ g^{-1} [/mm] = (e [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ g^{-1} [/mm] = [mm] (((g^{-1})^{-1} \circ g^{-1})\circ [/mm] g) [mm] \circ g^{-1} =((g^{-1})^{-1} \circ (g^{-1} \circ [/mm] g)) [mm] \circ g^{-1} [/mm] = [mm] ((g^{-1})^{-1} \circ [/mm] e) [mm] \circ g^{-1} =(g^{-1})^{-1} \circ [/mm] (e [mm] \circ g^{-1}) [/mm] = [mm] (g^{-1})^{-1} \circ g^{-1} [/mm] = e
Danke,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Mi 15.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel,
> Ich hab mir schon gedacht, dass es so nicht funktioniert
> weil man für die Beweise die Eindeutigkeit des Inversen
> benötigt.
>
> Sei g [mm]\in[/mm] G beliebig.
> Sei [mm]g^{-1}\in[/mm] G linksinverses: [mm]g^{-1} \circ[/mm] g=e
> ZZ.: g [mm]\circ g^{-1}[/mm] = e
> Für das Linksinverse [mm]g^{-1}[/mm] gibt es ein Linksinverses
> [mm](g^{-1})^{-1} \in[/mm] G:
> [mm](g^{-1})^{-1} \circ g^{-1}=[/mm] e
>
> g [mm]\circ g^{-1}[/mm] = (e [mm]\circ[/mm] g) [mm]\circ g^{-1}[/mm] = [mm](((g^{-1})^{-1} \circ g^{-1})\circ[/mm]
> g) [mm]\circ g^{-1} =((g^{-1})^{-1} \circ (g^{-1} \circ[/mm] g))
> [mm]\circ g^{-1}[/mm] = [mm]((g^{-1})^{-1} \circ[/mm] e) [mm]\circ g^{-1} =(g^{-1})^{-1} \circ[/mm]
> (e [mm]\circ g^{-1})[/mm] = [mm](g^{-1})^{-1} \circ g^{-1}[/mm] = e
>
>
Das passt.
FRED
> Danke,
> sissi
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Mir ist bekannt, dass man eine Menge $G$ zusammen mit einer Abbildung [mm] $G\times G\longrightarrow [/mm] G$ manchmal Gruppoid nennt. Der heutzutage geläufige Begriff hierfür ist jedoch Magma.
Ein Gruppoid bezeichnet üblicherweise etwas, das man sich vorstellen kann, wie eine "vieldimensionale Gruppe", genauer gesagt ist ein Gruppoid eine Kategorie, in der jeder Pfeil ein Isomorphismus ist. Eine Gruppe ist dann ein $1$-Objekt-Gruppoid.
Das Analogon ist eine Kategorie, welche ein vieldimensionales Monoid ist - ein "Monoidoid".
Eine [mm] $\mathbf{Ab}$-angereicherte [/mm] Kategorie ist ein vieldimensionaler Ring - auch Ringoid genannt.
Da sich Gruppoid in diese Reihe fügt, finde ich, dass man das Wort in dieser Bedeutung verwenden sollte. Ich wollte nur auf diesen Bedeutungswandel des Wortes aufmerksam machen, da ich es immer für sinnvoll halte, eine zeitgemäße Terminologie zu verwenden.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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