Gruppen zeigen und Isomorphie < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei G = [mm] \IR\ [/mm] {0} x [mm] \IR [/mm] und sei * die durch (a, b) * (c, d) = (ac, ad+b) definierte Verknüpfung
auf G. Zeigen Sie, dass (G,*) eine Gruppe ist.
Sei P die Menge der Polynome auf [mm] \IR [/mm] vom Grad 1 und [mm] \circ [/mm] die Komposition von Funktionen. Zeigen Sie, dass auch [mm] (P,\circ) [/mm] eine Gruppe ist.
Zeigen Sie weiterhin, dass (G,*) und [mm] (P,\circ) [/mm] isomorph sind. |
Hallo.
Also den ersten Teil mit G konnte ich ja noch zeigen. Man muss ja nur die Assoziativität nachweisen der Verknüpfung, dann das neutrale Element angeben (hier: (1,0)) und das inverse Elemente (hier: (1/a,-b/a)).
Beim zweiten Teil tue ich mich schon ein wenig schwerer.
Laut Voraussetzung gilt P := [mm] \{ax+b | a\in\IR \ {0} \wedge b \in \IR \}. [/mm] Seien a,b,c [mm] \in [/mm] P und u,v,w [mm] \in \IR [/mm] \ {0} und r,s,t [mm] \in \IR [/mm] mit a := ux + r, b := vw + s und c := wx+t. Dann gilt
(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c = (u (vx + s) + r) [mm] \circ [/mm] c = (u (v (wx + t) + s) + r) = (a [mm] \circ [/mm] (v (wx + t) + s)) = (a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c)).
Somit weiß ich also schon einmal, dass es sich bei [mm] (P,\circ) [/mm] um eine Halbgruppe handelt.
Die Frage ist jetzt, wie bestimme ich das neutrale Element und wie das inverse Element. Das neutrale Element muss ja e [mm] \circ [/mm] a = a [mm] \circ [/mm] e = a genügen. Vielleicht irgendetwas mit identität? Ich weiß es nicht so recht. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
vielleicht wäre ein kleiner Tipp für die Isomorphie auch noch ganz nett.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
für das Inverse: warum nicht einfach das Inverse von y=ax+b bestimmen?
Und natürlich die Identität y=x verknüpfrt mit y=ax+b?
für die Isomorphie:
[mm] (ax+b)\circ [/mm] (cx+d)=ex+f wie kommen e, f aus abcd zustande, vergleiche mit der ersten Gruppe!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hi.
Also irgendwie habe ich jetzt ein Fehler in meiner Berechung des Inversen. Sei s := ax + b und t := [mm] \bruch{x-b}{a}.
[/mm]
Dann gilt
(s [mm] \circ [/mm] t) = [mm] a(\bruch{x-b}{a}) [/mm] + b = x - b + b = x = [mm] \bruch{ax}{a} [/mm] = [mm] \bruch{ax + b - b}{a} [/mm] = (t [mm] \circ [/mm] s)
Das ist doch so nichr richtig, oder doch? ich müsst doch eigentlich in der Mitte ax + b stehen haben, anstatt nur x.
Kannst du mir nochmal auf die Sprünge helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist denn die Bedeutung von Invers? erstmal brauchst du ein neutrales Element e
dann [mm] s*s^{-1}=e [/mm] wenn dein t also das Inverse sein soll muss s*t=e sein. (und das hast du ja!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo.
Aber was ist denn dann nun mein e? ist dann dann x, oder wie?
aber soll doch gerade a [mm] \circ [/mm] e = e [mm] \circ [/mm] a = a gelten, aber ich bekomme a doch nirgends raus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Versteh deine Frage nicht, die Elemente der Gruppe sind doch p mit p=ax+b
p(x)=ax+b ; e(x)=x : [mm] e(p(x))=p(e(x))=e\circ p=p\circ [/mm] e=p
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo.
Ich hatte leider einen kleinen Denkfehler bei dieser Aufgabe und ich habe es jetzt natürlich nachvollziehen können, wie das neutrale Element und wie das inverse Element auszusehen hat. Damit wäre natürlich auch schon der zweite Aufgabenteil erledigt.
Beim dritten Teil der Aufgaben (Isomorphie) verstehe ich deinen Ansatz.
Seien s,t [mm] \in [/mm] P mit s := ax + b und t := cx + d. Seien weiter e, f [mm] \in \IR. [/mm] Dann gilt
(s [mm] \circ [/mm] t) = ((ax + b) [mm] \circ [/mm] (cx + d)) = ex + f
mit e = acx und f = ad + b
Diese Darstellung erinnert nun natürlich sehr stark an das Aussehen in der Gruppe G. Doch daraus entsteht doch jetzt keine Isomorphie. Man muss doch nun irgendwie diese bijektive Funktion angeben.
So richtig nachvollzogen habe ich das Vorgehen nun noch nicht.
Könntest du mir vielleicht noch ein weiteres Mal auf die Sprünge helfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
e=ac nicht acx . auf was würdest du denn jetzt (a,b) (c,d) abbilden?
Das ist doch eigentlich sehr naheliegend!!
Gruss leduart
|
|
|
|
