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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 So 11.02.2007 | | Autor: | ahhh |
| Aufgabe | Sind folgende Mengen M mit der angegebenen Operation [mm] \oplus [/mm] Gruppen?
Zu testen:
1. [mm] a\oplusb \in [/mm] M für [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] M?
2. [mm] a\oplus(b\oplusc) [/mm] = [mm] (a\oplusb)\oplusc [/mm] für alle a,b,c [mm] \in [/mm] M?
3. Existiert n [mm] \in [/mm] M mit [mm] n\oplusa [/mm] = [mm] a\oplusn [/mm] = a für alle a [mm] \in [/mm] M?
4. Gibt es für alle a [mm] \in [/mm] M ein [mm] \overline{a}\in [/mm] M mit [mm] \overline{a}\oplusa [/mm] = [mm] a\oplus\overline{a} [/mm] = n?
Sind das Gruppen?
a) [mm] M=\{(a,b)|a\in\IR, b\in \IZ\} [/mm] mit [mm] (a,b)\oplus(a',b')=(a+a',b+b')(fuer (a,b),(a',b')\in [/mm] M)
b) [mm] M=\{(a,b)|a\in\IZ, b\in \IR\setminus\{0\}\} [/mm] mit [mm] (a,b)\oplus(a',b')=(a+a',b*b')(fuer (a,b),(a',b')\in [/mm] M)
c) [mm] M=\{0,1,2,3,4,5\} [/mm] mit a [mm] \oplus [/mm] b = a+b mod 6 (fuer a,b [mm] \in [/mm] M)
d) [mm] M=\{0,1,2,3,4\} [/mm] mit a [mm] \oplus [/mm] b = a+b mod 5 (fuer a,b [mm] \in [/mm] M) |
Hallo
habe hier paar Verständnisprobleme.
Habe bis jetzt nur, dass c) und d) keine Gruppen sind , da sie kein inverses Element haben, oder irre ich mich da?
Bei a) und b) komme ich aber gar nicht weiter, da ich die Aufgabenstellung nicht ganz verstehe. Sind a' und b' von a,b abhängig? Und was hat das zu bedeuten [mm] (a,b)\oplus(a',b')=(a+a',b+b') [/mm] ?
Hoffe, jemand kann mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:31 Mo 12.02.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Sind folgende Mengen M mit der angegebenen Operation [mm]\oplus[/mm]
> Gruppen?
> Zu testen:
> 1. [mm]a\oplusb \in[/mm] M für [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] M?
> 2. [mm]a\oplus(b\oplusc)[/mm] = [mm](a\oplusb)\oplusc[/mm] für alle
> a,b,c [mm]\in[/mm] M?
> 3. Existiert n [mm]\in[/mm] M mit [mm]n\oplusa[/mm] = [mm]a\oplusn[/mm] = a für
> alle a [mm]\in[/mm] M?
> 4. Gibt es für alle a [mm]\in[/mm] M ein [mm]\overline{a}\in[/mm] M mit
> [mm]\overline{a}\oplusa[/mm] = [mm]a\oplus\overline{a}[/mm] = n?
>
> Sind das Gruppen?
> a) [mm]M=\{(a,b)|a\in\IR, b\in \IZ\}[/mm] mit
> [mm](a,b)\oplus(a',b')=(a+a',b+b')(fuer (a,b),(a',b')\in[/mm] M)
> b) [mm]M=\{(a,b)|a\in\IZ, b\in \IR\setminus\{0\}\}[/mm] mit
> [mm](a,b)\oplus(a',b')=(a+a',b*b')(fuer (a,b),(a',b')\in[/mm] M)
> c) [mm]M=\{0,1,2,3,4,5\}[/mm] mit a [mm]\oplus[/mm] b = a+b mod 6 (fuer a,b
> [mm]\in[/mm] M)
> d) [mm]M=\{0,1,2,3,4\}[/mm] mit a [mm]\oplus[/mm] b = a+b mod 5 (fuer a,b
> [mm]\in[/mm] M)
> Habe bis jetzt nur, dass c) und d) keine Gruppen sind , da
> sie kein inverses Element haben, oder irre ich mich da?
Ja, da irrst du dich beträchtlich. vielleicht schreibst du dir einfach mal die Verknüpfungstafel auf, dann siehst du, ob es inverse Elemente gibt.
> Bei a) und b) komme ich aber gar nicht weiter, da ich die
> Aufgabenstellung nicht ganz verstehe. Sind a' und b' von
> a,b abhängig? Und was hat das zu bedeuten
> [mm](a,b)\oplus(a',b')=(a+a',b+b')[/mm] ?
Das ist hier die Definition von [mm] \oplus, [/mm] sie sagt dir, wie du 2 Paare miteinander verknüpfst. Das funktioniert, weil du (hoffentlich) weißt, wie man auf der rechten Seite 2 ganze oder 2 reelle Zahlen addiert.
Bsp.: Was ist (3, 5) [mm] \oplus [/mm] (-2,5, 1)?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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