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| Aufgabe | (i) Sei [mm]G = \IZ_n := \IZ /n \IZ[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm] ungerade.
Zeigen Sie: jedes Element [mm]g \in G[/mm] ist ein Quadrat. Das heißt:
[mm]\forall g \in G \ : \ \exists h \in G \ : \ g = h * h[/mm]
(ii) Sei nun G eine beliebige abelsche Gruppe mit [mm]n = |G|[/mm] Elementen, wobei wieder [mm]n \in \IN[/mm] ungerade sei. Zeigen Sie die obige Aussage auch in diesem Fall. |
Ich habe diese Frage auf keiner weiteren Internetseite gestellt.
Hi,
haben und bei der Aufgabe (i) gedacht, dass zu jedem g auch dessen Quadrat in der Menge G liegen muss.
Und das es somit folgende Abbildung gibt:
[mm]f : G\to G \ : \ n \mapsto n^2[/mm]
Eine weitere Frage ist, ob dies nur für die Addition gilt oder auch für die Multiplikation?
mfg.
Mareike & Katie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Fr 23.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> (i) Sei [mm]G = \IZ_n := \IZ /n \IZ[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm] ungerade.
> Zeigen Sie: jedes Element [mm]g \in G[/mm] ist ein Quadrat. Das
> heißt:
> [mm]\forall g \in G \ : \ \exists h \in G \ : \ g = h * h[/mm]
>
> (ii) Sei nun G eine beliebige abelsche Gruppe mit [mm]n = |G|[/mm]
> Elementen, wobei wieder [mm]n \in \IN[/mm] ungerade sei. Zeigen Sie
> die obige Aussage auch in diesem Fall.
> Ich habe diese Frage auf keiner weiteren Internetseite
> gestellt.
>
> Hi,
> haben und bei der Aufgabe (i) gedacht, dass zu jedem g
> auch dessen Quadrat in der Menge G liegen muss.
> Und das es somit folgende Abbildung gibt:
> [mm]f : G\to G \ : \ n \mapsto n^2[/mm]
das sollst du doch gerade zeigen! denk dran [mm] 0^2=0 [/mm] also hast du noch ne gerade Zahl von [mm] g\ne0 [/mm] in G!
> Eine weitere Frage ist, ob
> dies nur für die Addition gilt oder auch für die
> Multiplikation?
i.A. falls n keine Primzahl ist ist das mit der Mulltiplikation KEINE Gruppe!
Beispiel n=9: 3*3=0.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Fr 23.11.2007 | | Autor: | Breece |
Aber nach der Aufgabe soll es doch mit der Multiplikation eine Gruppe sein?
h*h=g
Aber genau das geht doch nicht so wirklich? Angenommen man fixiert das n auf die 5.
Dann gibts in G die Restklassen
0,1,2,3,4
wobei 0,1,4 quadratzahlen sind und 2,3 nicht... die Aussage stimmt doch irgendwie hinten und vorne nicht?
Oder interpretiere ich das vollkommen falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
"Quadrat" in Gruppen meint eben [mm] g^2=g+g [/mm] oder g*g wobei das Verknüpfungszeichen willkürlich ist. das + ist ja auch nicht das "normale" + für ganze Zahlen ! denn 2+3=0 macht da ja keinen Sinn!
In einer Gruppe gibts immer nur eine Verknüpfung, und die kannst du mal oder plus oder Kringel nennen! (ich geb zu Quadrat für 6 weil 6=3vk3 ist [mm] 6=3\odot [/mm] 3 oder 6=3+3 ist gewöhnungsbedürftig!)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Breece |
Das Quadrat zwei Dinge meinen kann habe ich soweit verstanden, danke!
Aber in der Aufgabenstellung ist doch von einer Multiplikation die Rede... Und genau mit der geht das ja nicht...
Ist das so gemeint:
n sei 5
Restklassen 0,1,2,3,4
0 Ist Quadrat von 0+0
1 Ist Quadrat von 3+3=6=1
2 ist Quadrat von 1+1
3 Ist Quadrat von 4+4=8=3
4 Ist Quadrat von 2+2=4
Mit der Multiplikation geht das ja nicht... Aber es wird ja
g=h*h (und nicht g=h+h) gefordert ... Das Quadrat wird also als "Multiplikation" gefordert.
Ich meine ich kann es ja mal mit Addition versuchen, wobei dann natürlich die Frage ist wie das allgemein zu beweisen ist. Hast du da einen Tipp bzw eine Anregung für mich?
Vielen Dank schonmal für die Antworten :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal, mit dem [mm] \cdot [/mm] ist die Verknüpfungsoperation der Gruppe gemeint, die Durch z. Bsp durch die Verknüpfungstabelle gegeben ist. ersetze + durch [mm] \circ
[/mm]
dann hast du [mm] h\circ [/mm] h=g
In der Aufgabe steht nix von "Multiplikation" Nur bei reellen Zahlen ist genau definiert, was "Multiplikation" ist. In Gruppen hat man "verknüpfungen" die man manchmal der Vereinfachung mit "Mal" oder "Plus" bezeichnet, meist aber mit Mal!
Dass die Beh. für dein Mal aus den reellen Zahlen falsch ist ist schon deshalb klar, weil - wie ich schon im 1. post sagte, [mm] \IZ_n [/mm] für n nicht Prim keine Gruppe bezüglich der "normalen" Multiplikation ist.
Also weiter, vergiss das + und nenn es [mm] \circ [/mm] dann stört dich das "Quadrat" weniger!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Breece |
Und genau dann bekomme ich ein Problem...
Ich weiß nicht wie ich
g=h o h
beweisen soll...
Bei der Verknüpfung "+" kann ich mir das ja noch irgendwie vorstellen, da habe ich ja auch ein Beispiel gegeben...
Aber wie geht sowas denn grundsätzlich?
MfG
Breece
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Sa 24.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] g\circ [/mm] g liegt in der Gruppe, also [mm] g^2 [/mm] entweder ist das e (neutrales Element also [mm] g=g^{-1} [/mm] oder du kannst weiter machen! [mm] g\circ g\circ [/mm] g liegt in der Gruppe usw.
ausserdem weisst du , dass [mm] g^{2n} [/mm] das höchst ist, wenn alle [mm] g^k [/mm] verschieden sind!
probiers mal mit kleinen ungeraden Zahlen, nicht gerade Primzahl. dann mit geraden, dann siehst du den Unterschied! dein [mm] \circ [/mm] kannst du dir ruhig als dein + vorstellen, also [mm] 1\circ [/mm] 1=2 2 ist Quadratzahl [mm] 2\circ [/mm] 2=4 wieder QZ usw.
jetzt musst du nur zeigen, dass du auf diese weise bei ungeraden immer alle erreichst!
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 25.11.2007 | | Autor: | Breece |
G beschreibt doch die Restklassen oder nicht? Und so wie ich das verstehe soll ich zeigen, dass jedes Element in der Restklasse eine Quadratzahl ist, sprich durch die Verknüpfüung zweier Elemente in der Restklasse zu erreichen ist.
Bei kleinen Restklassen kann ich das nachvollziehen und sehe auch ein "Schema" es wird also immer gehen...
Für die geraden Elemente k in der Restklasse gilt, dass sie durch Verknüpfung von k/2 o k/2 erreicht werden. Das "größte" Element k in der Restklasse ist
k=n-1
und wenn n ungerade, dann ist damit das "größte"/"letzte" Element eine gerade Zahl.
Die erste Ungerade Zahl wird erreicht durch (k/2)+1 o (k/2)+1, die Zweite durch (k/2)+2 o (k/2)+2 etc.. bis (k/2)+(k/2) o (k/2)+(k/k2)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 So 25.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.was meinst du in ner Restklasse mit k/2? das ist nicht definiert!
2. ich wollte, dass du feststellst warum in der Behauptung nur ungerade Restklassen vorkommen! also der Unterschied von [mm] \IZ_8 [/mm] und [mm] \IZ_9
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:35 So 25.11.2007 | | Autor: | Breece |
Hmm da habe ich mich wohl unklar ausgedrückt.
Ich habe mal $ [mm] \IZ_6 [/mm] $ und $ [mm] \IZ_7 [/mm] $ gemacht und sehe das Problem.
Bei den 6 Restklassen (0,1,2,3,4,5) bei $ [mm] \IZ_6 [/mm] $ kann man die ungeraden nicht erreichen, denn für z.B. die 1 müsste man 7 $ [mm] \7_6 [/mm] $ hinbekommen, aber 7 lässt sich nicht durch Verknüpfung zweier Elemente aus der Restklasse erreichen. Anders ausgedrückt ist 7 durch 2 keine ganze Zahl.
Bei den ungeraden n habe ich das Problem nicht.
Ich bin nur leider immernoch unsicher was "saubere" mathematische Beweise angeht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Di 27.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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