Gruppen isomorph < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gibt es Gruppen G mit der Eigenschaft, dass G isomorph ist zu einer Untergruppe von G?
Kann mir jemand hierzu ein Beispiel nennen?
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Für eine beliebige Gruppe $G$ gilt: $G$ ist eine Untergruppe von $G$.
Somit ist deine Aussage trivialerweise für jede Gruppe erfüllt.
Du meinst wahrscheinlich isomorph zu einer echten Untergruppe?
Ich kann dir kein Beispiel für so eine Gruppe nennen; ich vermute sogar - kann es aber im Moment leider nicht spontan zeigen - dass das nicht möglich ist.
Auf jeden Fall kann ich dir sagen, dass so eine Gruppe $G$ - falls sie existiert - keinesfalls endlich erzeugt sein darf.
Überdies muss es eine unendliche Kette von Untergruppen $G = [mm] G_0 \supsetneqq G_1 \supsetneqq G_2 \ldots$ [/mm] geben, die alle nicht endlich erzeugt sein dürfen. Daher vermute ich wie gesagt, dass so eine Gruppe $G$ nicht existiert; ich kann es aber leider spontan weder zeigen noch widerlegen.
lg
Schadow
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Betrachte [mm](\IZ,+)[/mm] und als Untergruppe [mm](2\IZ,+)[/mm]. Dann ist [mm]\IZ \cong 2\IZ[/mm]
Der Isomorphismus ist [mm]\phi(x)=2x[/mm].
Irgendwo hatte ich auch mal ein Beispiel für die PSL(2,[mm]\IZ[/mm]) gesehen.
Edit: Für [mm] $\IQ$ [/mm] als additive Gruppe gibt es KEINE echte isomorphe Untergruppe.
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