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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 So 28.10.2012 | | Autor: | Expo |
| Aufgabe | Sei (G *) eine gruppe mit k€G beliebig aber fest. Wir definieren durch folgende Vorschriften eine neue Verknüpfung auf G
a°b=a*k*b für a,b€G
Zeigen sie das (G °) eine Gruppe ist. |
Meine Idee:
Ich beweise die drei Gruppen axiome für (G *)
G1)
(a°b)°c= (a*k*b)*c=(a*k*b)*c*k=a*(b*c)*k=a*(b*c)
G2)
a*(-k)=(a*(-g))*g=a
G3)
Hier komme ich nicht weiter
DankeIch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Sei (G *) eine gruppe mit k€G beliebig aber fest.
Es gelten also für die Menge G und die Verknüpfung [mm] \* [/mm] die Gruppenaxiome.
Du solltest sie Dir ruhig mal aufschreiben - nicht unbedingt hier, aber auf einen Zettel.
> Wir
> definieren durch folgende Vorschriften eine neue
> Verknüpfung auf G
>
> [mm] \red{a}°\blue{b}=\red{a}*k*\blue{b} [/mm] für a,b€G
Die Verknüpfung [mm] \circ [/mm] funktioniert also so, daß zwischen das erste und zweite Element das feste Element k gesetzt wird, und diese mit der Verknüpfung [mm] \* [/mm] verknüpft werden.
>
> Zeigen sie das (G °) eine Gruppe ist.
Als allererstes mußt Du beweisen, daß man, wenn man zwei Elemente aus G mit [mm] \circ [/mm] verknüpft, wieder ein Element aus G bekommt:
Seien [mm] x,y\in [/mm] G.
Es ist [mm] x\circ y=x\*k\*y\in [/mm] G, denn ???
--- denn G bildet mit der Verknüpfung [mm] \* [/mm] eine Gruppe. Daher ist die Verknüpfung von Elementen von G wieder in G.
> Meine Idee:
>
> Ich beweise die drei Gruppen axiome für (G *)
Nein. Für [mm] (G,\*) [/mm] werden sie vorausgesetzt.
Beweisen mußt Du sie für [mm] (G,\circ).
[/mm]
>
> G1)
> (a°b)°c= (a*k*b)*c=(a*k*b)*c*k=a*(b*c)*k=a*(b*c)
Moment! Das ist gut gemeint, aber doch Kraut und Rüben.
Du mußt [mm] \* [/mm] und [mm] \circ [/mm] gut unterscheiden. Außerdem darfst Du nicht einfach das k dahinsetzen, wo's Dir gefällt...
Ich mache es mal richtig vor:
[mm] (a\circ b)\circ [/mm] c= [mm] (a*k*b)\circ [/mm] c [mm] \qquad [/mm] nach Def. von [mm] \circ
[/mm]
[mm] =(a*k*b)*k*c\qquad [/mm] nach Def. von [mm] \circ
[/mm]
=a*k*(b*k*c) [mm] \qquad [/mm] Assoziativgesetz in [mm] (G,\*)
[/mm]
[mm] =a\circ(b*k*c) \qquadnach [/mm] Def. von [mm] \circ
[/mm]
= ...
>
> G2)
Hier ist zu zeigen, daß es in (G, [mm] \circ) [/mm] ein neutrales Element e' gibt, also ein Element [mm] e'\in [/mm] G, so daß für jedes Element [mm] a\in [/mm] G gilt
[mm] a\circ [/mm] e'=a.
Nun mußt Du ein bißchen experimentieren.
Du solltest dabei zweierlei bedenken:
in [mm] (G,\*) [/mm] gibt es nach Voraussetzung ein neutrales Element e,
und weiter weißt Du, daß in [mm] (G,\*) [/mm] jedes Element x ein Inverses Element hat - laß es uns zur Vorbeugung von Verwirrungen einfach [mm] \overline{x} [/mm] nennen.
Es ist ja [mm] a\circ e'=a\*k\*e'. [/mm]
Nun überlege Dir, was Du für e' nehmen mußt, damit am Ende ...=a dasteht.
Punkt (3) stellen wir vorerst zurück.
LG Angela
> a*(-k)=(a*(-g))*g=a
>
> G3)
> Hier komme ich nicht weiter
>
> DankeIch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 So 28.10.2012 | | Autor: | Expo |
> Ich mache es mal richtig vor:
> [mm](a\circ b)\circ[/mm] c= [mm](a*k*b)\circ[/mm] c [mm]\qquad[/mm] nach Def. von
> [mm]\circ[/mm]
>
> [mm]=(a*k*b)*k*c\qquad[/mm] nach Def. von [mm]\circ[/mm]
>
> =a*k*(b*k*c) [mm]\qquad[/mm] Assoziativgesetz in [mm](G,\*)[/mm]
>
> [mm]=a\circ(b*k*c) \qquadnach[/mm] Def. von [mm]\circ[/mm]
>
= a°(b°c)
> >
> > G2)
>
> Hier ist zu zeigen, daß es in (G, [mm]\circ)[/mm] ein neutrales
> Element e' gibt, also ein Element [mm]e'\in[/mm] G, so daß für
> jedes Element [mm]a\in[/mm] G gilt
>
> [mm]a\circ[/mm] e'=a.
>
> Nun mußt Du ein bißchen experimentieren.
> Du solltest dabei zweierlei bedenken:
> in [mm](G,\*)[/mm] gibt es nach Voraussetzung ein neutrales Element
> e,
> und weiter weißt Du, daß in [mm](G,\*)[/mm] jedes Element x ein
> Inverses Element hat - laß es uns zur Vorbeugung von
> Verwirrungen einfach nennen.
>
> Es ist ja [mm]a\circ e'=a\*k\*e'.[/mm]
> Nun überlege Dir, was Du für e' nehmen mußt, damit am
> Ende ...=a dasteht.
e= Das inverse von k,
> Punkt (3) stellen wir vorerst zurück.
>
Mir ist hir noch eine Idde gekommen:((-k) inverse zu k)
a°[mm]\overline{x}[/mm]=a*k*(-2k)=(-k)=e
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Hallo Expo,
> e= Das inverse von k, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo, denn für alle [mm]a\in G[/mm] gilt [mm]a\circ k^{-1}=a\star k\star k^{-1}=a[/mm]
> > Punkt (3) stellen wir vorerst zurück.
> >
>
> Mir ist hir noch eine Idde
What?
> gekommen:((-k) inverse zu k)
> a°[mm]\overline{x}[/mm]=a*k*(-2k)=(-k)=e
Was ist [mm]\overline x[/mm] ?
Du suchst zu [mm]a\in G[/mm] ein Inverses bzgl. [mm]\star[/mm]
Nennen wir das mal [mm]i[/mm]
Dann muss gelten [mm]a\circ i=k^{-1}[/mm]
Also [mm]a\star k\star i=k^{-1}[/mm]
Nun bastel mal das [mm]i[/mm] zusammen:
Zunächst müsste bei der Verknüpfung mit [mm]i[/mm] das erste [mm]k[/mm] weg, also packe in [mm]i[/mm] schonmal [mm]k^{-1}[/mm] rein.
Dann müsste das [mm]a[/mm] weg, also füge ein [mm]a^{-1}[/mm] hinzu.
Dann hast du schonmal [mm]a\circ i=a\circ \left(k^{-1}\star a^{-1}\right)=a\star k\star k^{-1}\star a^{-1}=e_{(G,\star)}[/mm]
Nun soll aber nicht [mm]e[/mm] rauskommen, sondern [mm]k^{-1}[/mm]
Du musst also [mm]i[/mm] nur noch geringfügig modifizieren ...
Soviel zur Bastelanleitung.
Hilft's?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 So 28.10.2012 | | Autor: | Expo |
Danke,
also muss ich noch ein k^(-1) hinzufügen, was dann wäre
[mm] \star k^{-1}\star a^{-1}\star k^{-1}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Danke,
> also muss ich noch ein k^(-1) hinzufügen, was dann
> wäre
> [mm]\star k^{-1}\star a^{-1}\star k^{-1}[/mm]
Das sieht nicht schlecht aus, aber rechne doch nach, dass gilt:
1) [mm]a\circ\left(k^{-1}\star a^{-1}\star k^{-1}\right)=k^{-1}[/mm]
2) [mm]\left(k^{-1}\star a^{-1}\star k^{-1}\right)\circ a=k^{-1}[/mm]
Rechne das mal nach, dann hast du eine Selbstkontrolle 
Ach ja, ist $i$ denn eigentich ein Element aus $G$?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:24 So 28.10.2012 | | Autor: | Expo |
Hallo,
> [mm](a\circ b)\circ[/mm] c= [mm](a*k*b)\circ[/mm] c [mm]\qquad[/mm] [mm]=(a*k*b)*k*c\qquad[/mm] =a*k*(b*k*c) [mm]\qquad[/mm][mm]=a\circ(b*k*c) \qquadnach[/mm]
> =a [mm] \circ(b\circ [/mm] c)
G2)
[mm]a\circ e'=a\*k\*e'.[/mm] [mm] =a\*k\*(-k)=a
[/mm]
G3) siehe Mitteilung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 So 28.10.2012 | | Autor: | Expo |
Danke für diese sehr gute Frage.
Es muss k^-1*k^-1*a^-1 sein, da die Gruppe nicht abelschs ist.
Das Inverse Element ist Element der Gruppe da, die einzelnen Komponenten Inverse von a,b,g€G
Und diese mit der Verknüpfung der Gruppe verknüpft sind.
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Hallo nochmal,
> Danke für diese sehr gute Frage.
> Es muss k^-1*k^-1*a^-1 sein, da die Gruppe nicht abelschs
> ist.
Das ist Kauderwelsch und erschließt sich mit nicht ...
>
> Das Inverse Element ist Element der Gruppe da, die
> einzelnen Komponenten Inverse von a,b,g€G
> Und diese mit der Verknüpfung der Gruppe verknüpft sind.
Das ist genau die richtige und ausreichende Begründung!
[mm] $(G,\star)$ [/mm] ist ja nach Vor. eine Gruppe, die Elemente $a,k$ und ihre Inversen und Verknüpfungen (unter [mm] $\star$) [/mm] sind damit auch in $G$
Also alles gut!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 So 28.10.2012 | | Autor: | Expo |
Nun bin ich verwirt.
i°a=i°(a*k)=(k^(-1)*k^(-1)*a^(-1))*(a*k)=(K^(-1)*K^(-1)*(a^(-1)*a)*K=K^(-1)*(K^(-1)*K)=k^(-1)
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Hallo nochmal,
> Nun bin ich verwirt.
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> i°a=i°(a*k) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $i\circ a=i\star k\star [/mm] a$
Nun i einsetzen und zusammenfassen
> =(k^(-1)*k^(-1)*a^(-1))*(a*k)=(K^(-1)*K^(-1)*(a^(-1)*a)*K=K^(-1)*(K^(-1)*K)=k^(-1)
Gruß
schachuzipus
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