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| Aufgabe | Wir betrachten die Menge M = {(a, b) [mm] \in R^2 [/mm] | b [mm] \not= [/mm] 0} mit der Verknüpfung
(a, b) [mm] \circ [/mm] (a', b') = (a'+ ab', bb'). Zeigen Sie, dass (M, [mm] \circ [/mm] ) eine Gruppe ist! Ist diese Gruppe kommutativ? |
Hallo zusammen,
so, Assoziativität und Kommutativität ist ja nur einfaches umformen, dabei hatte ich festgestellt, dass die Assoziativität gilt, Kommutativität aber nicht.
Also nur die Stellen, an denen ich unsicher bin:
1. Existenz:
z.z.: (a;b) und (a';b') [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] (a,b) [mm] \circ [/mm] (a',b') [mm] \in [/mm] M
(a,b) [mm] \circ [/mm] (a',b') = (a'+ab', bb')
a'+ab' [mm] \in \IR [/mm] und bb' [mm] \in \IR [/mm] und bb' [mm] \not= [/mm] 0 , weil b [mm] \not= [/mm] 0 und b' [mm] \not= [/mm] 0
2. Assoziativität:
s.o.
3. Neutrales Element
z.z.: [mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] e [mm] \in [/mm] M, so dass (a,b) [mm] \circ [/mm] e=(a,b)
(a,b) [mm] \circ [/mm] (e1,e2) = (e1+ae2 , be2)
also: e1+ae2= a und be2=b [mm] \gdw [/mm] e2=1 [mm] \not= [/mm] 0
und somit e1+ a*1=a [mm] \gdw [/mm] e1=0
[mm] \Rightarrow [/mm] (0,1) ist neutrales Element
4. Inverses
z.z.: [mm] \forall [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] M [mm] \exists (a,b)^{-1} [/mm] , so dass (a,b) [mm] \circ (a,b)^{-1} [/mm] = e
(a,b) [mm] \circ (a,b)^{-1} [/mm] = [mm] (a^{-1}+ab^{-1} [/mm] , [mm] bb^{-1})
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^{-1} [/mm] + [mm] ab^{-1} [/mm] = 0 und [mm] bb^{-1} [/mm] = 1 [mm] \gdw b^{-1}= \bruch{1}{b} \in \IR [/mm] , Division ist problemlos weil b [mm] \not= [/mm] 0
einsetzen und umformen nach [mm] a^{-1} [/mm] liefert: [mm] a^{-1}= [/mm] - [mm] \bruch{a}{b} \in \IR [/mm] , Division problemlos, weil b [mm] \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] ( - [mm] \bruch{a}{b} [/mm] , [mm] \bruch{1}{b} [/mm] ) [mm] \in [/mm] M ist Inverse
5. Kommutativität
s.o.
Stimmt das so? Bitte auch um Anmerkungen zum Formalismus, also ob meine Notation stimmt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wir betrachten die Menge M = {(a, b) [mm]\in R^2[/mm] | b [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}
> mit der Verknüpfung
> (a, b) [mm]\circ[/mm] (a', b') = (a'+ ab', bb'). Zeigen Sie, dass
> (M, [mm]\circ[/mm] ) eine Gruppe ist! Ist diese Gruppe kommutativ?
> Hallo zusammen,
>
> so, Assoziativität und Kommutativität ist ja nur
> einfaches umformen, dabei hatte ich festgestellt, dass die
> Assoziativität gilt, Kommutativität aber nicht.
Hast Du ein Gegenbeispiel für die nicht vorhandene Kommutativität ?
>
> Also nur die Stellen, an denen ich unsicher bin:
>
> 1. Existenz:
>
> z.z.: (a;b) und (a';b') [mm]\in[/mm] M [mm]\Rightarrow[/mm] (a,b) [mm]\circ[/mm]
> (a',b') [mm]\in[/mm] M
>
> (a,b) [mm]\circ[/mm] (a',b') = (a'+ab', bb')
>
> a'+ab' [mm]\in \IR[/mm] und bb' [mm]\in \IR[/mm] und bb' [mm]\not=[/mm] 0 , weil b
> [mm]\not=[/mm] 0 und b' [mm]\not=[/mm] 0
O.K.
>
>
> 2. Assoziativität:
> s.o.
>
>
> 3. Neutrales Element
>
> z.z.: [mm]\forall[/mm] (a,b) [mm]\in[/mm] M [mm]\exists[/mm] e [mm]\in[/mm] M, so dass (a,b)
> [mm]\circ[/mm] e=(a,b)
Nein andersrum: es ex. ein e [mm] \in [/mm] M mit: (a,b) [mm] \circ [/mm] e=(a,b).
>
> (a,b) [mm]\circ[/mm] (e1,e2) = (e1+ae2 , be2)
>
> also: e1+ae2= a und be2=b [mm]\gdw[/mm] e2=1 [mm]\not=[/mm] 0
>
> und somit e1+ a*1=a [mm]\gdw[/mm] e1=0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (0,1) ist neutrales Element
Ja
>
>
> 4. Inverses
>
> z.z.: [mm]\forall[/mm] (a,b) [mm]\in[/mm] M [mm]\exists (a,b)^{-1}[/mm] , so dass
> (a,b) [mm]\circ (a,b)^{-1}[/mm] = e
>
> (a,b) [mm]\circ (a,b)^{-1}[/mm] = [mm](a^{-1}+ab^{-1}[/mm] , [mm]bb^{-1})[/mm]
Das ist eine schlechte Bezeichnung. Für obigen Ansatz würde ich [mm] (a,b)^{-1}=(x,y) [/mm] wählen.
>
> [mm]\Rightarrow a^{-1}[/mm] + [mm]ab^{-1}[/mm] = 0 und [mm]bb^{-1}[/mm] = 1 [mm]\gdw b^{-1}= \bruch{1}{b} \in \IR[/mm]
> , Division ist problemlos weil b [mm]\not=[/mm] 0
>
> einsetzen und umformen nach [mm]a^{-1}[/mm] liefert: [mm]a^{-1}=[/mm] -
> [mm]\bruch{a}{b} \in \IR[/mm] , Division problemlos, weil b [mm]\not=[/mm] 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ( - [mm]\bruch{a}{b}[/mm] , [mm]\bruch{1}{b}[/mm] ) [mm]\in[/mm] M ist
> Inverse
O.k.
FRED
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> 5. Kommutativität
> s.o.
>
> Stimmt das so? Bitte auch um Anmerkungen zum Formalismus,
> also ob meine Notation stimmt.
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ein Beispiel...
(-1 , 1) [mm] \circ [/mm] (1, -1) = (2, 1)
(1, -1) [mm] \circ [/mm] (-1, 1)= (0, 1)
[mm] \Rightarrow [/mm] nicht kommutativ
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Big_Head,
> (-1 , 1) [mm]\circ[/mm] (1, -1) = (2, 1)
>
> (1, -1) [mm]\circ[/mm] (-1, 1)= (0, 1)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] nicht kommutativ
Abgesehen davon, dass die zweite Komponte jeweils -1 statt 1 lauten müsste: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Übrigens würde ich noch einen Satz dazu spendieren, warum [mm] $\circ$ [/mm] überhaupt eine Verknüpfung auf M ist, also warum für [mm] $(a,b),(a',b')\in [/mm] M$ stets auch [mm] $(a,b)\circ (a',b')\in [/mm] M$ gilt.
Viele Grüße
Tobias
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