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| Aufgabe | Sei (G, [mm] \circ [/mm] ) eine Gruppe in der für alle g [mm] \in [/mm] G die Gleichheit g [mm] \circ [/mm] g = e gilt.
Zeigen Sie, dass (G, [mm] \circ) [/mm] kommutativ ist. |
Hallo,
also bislang habe ich mir überlegt:
aus der Aufg.stellung folgt, dass [mm] a=a^{-1} [/mm] ist.
und dann auch für zwei beliebige a,b [mm] \in [/mm] G gilt : a [mm] \circ [/mm] b = (a [mm] \circ [/mm] b [mm] )^{-1}
[/mm]
so und nun komme ich gerade nicht weiter...hat jemand einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Mo 23.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei (G, [mm]\circ[/mm] ) eine Gruppe in der für alle g [mm]\in[/mm] G die
> Gleichheit g [mm]\circ[/mm] g = e gilt.
> Zeigen Sie, dass (G, [mm]\circ)[/mm] kommutativ ist.
> Hallo,
>
> also bislang habe ich mir überlegt:
>
> aus der Aufg.stellung folgt, dass [mm]a=a^{-1}[/mm] ist.
Ja, das brauchst Du.
>
> und dann auch für zwei beliebige a,b [mm]\in[/mm] G gilt : a [mm]\circ[/mm]
> b = (a [mm]\circ[/mm] b [mm])^{-1}[/mm]
>
> so und nun komme ich gerade nicht weiter...hat jemand einen
> Tipp?
Mann, Mann , Du hast doch schon die halbe Miete !!!
$a [mm] \circ [/mm] b= (a [mm] \circ b)^{-1}= b^{-1} \circ a^{-1} [/mm] $
Jetzt wieder Du.
FRED
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Danke, aber ich verstehe nicht warum
> [mm]a \circ b= (a \circ b)^{-1}= b^{-1} \circ a^{-1}[/mm]
der letzte Schritt ist dann wieder einfach.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 23.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke, aber ich verstehe nicht warum
>
> > [mm]a \circ b= (a \circ b)^{-1}= b^{-1} \circ a^{-1}[/mm]
In jeder Gruppe gilt: (a [mm] \circ b)^{-1}= b^{-1} \circ a^{-1} [/mm] !!!!!
FRED
>
> der letzte Schritt ist dann wieder einfach.
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Gut diese Eigenschaft hatte ich nicht im Kopf...das liegt doch daran, dass für
(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ b)^{-1} [/mm] =e gelten muss, oder?
Weil das wird ja nur zu e, wenn man es wie folgt notiert:
(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ b)^{-1} [/mm] =e
[mm] \gdw [/mm] a [mm] \circ [/mm] b [mm] \circ b^{-1} \circ a^{-1}
[/mm]
und über die Assoziativität kann man dann zuerst die bs zu e fassen und dann noch die as, oder?
Meine Lösung jetzt:
a [mm] \circ [/mm] b = (a [mm] \circ b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} \circ a^{-1} [/mm] = b [mm] \circ [/mm] a
qed
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Hallo Big_Head78,
> Gut diese Eigenschaft hatte ich nicht im Kopf...das liegt
> doch daran, dass für
>
> (a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ[/mm] (a [mm]\circ b)^{-1}[/mm] =e gelten muss, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Weil das wird ja nur zu e, wenn man es wie folgt notiert:
>
> (a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ[/mm] (a [mm]\circ b)^{-1}[/mm] =e
> [mm]\gdw[/mm] a [mm]\circ[/mm] b [mm]\circ b^{-1} \circ a^{-1}[/mm]
Na, das weißt du noch nicht, aber [mm]ab[/mm] verknüpft mit [mm](b^{-1}a^{-1})[/mm] wird jedenfalls e, damit - weil formal das Inverse zu [mm]ab[/mm] halt [mm](ab)^{-1}[/mm] ist und da das Inverse eind. ist, also [mm](ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}[/mm]
>
> und über die Assoziativität kann man dann zuerst die bs
> zu e fassen und dann noch die as, oder?
>
> Meine Lösung jetzt:
>
> a [mm]\circ[/mm] b = (a [mm]\circ b)^{-1}[/mm]
Dieses "=" gilt doch nicht i.A. oder bezieht sich "meine Lösung" auf die konkrete Aufgabe hier? Dann stimmt's.
Also immer mal wieder dranschreiben, was genau du treibst, sonst verliert man den Durchblick ...
> = [mm]b^{-1} \circ a^{-1}[/mm] = b [mm]\circ[/mm] a
Ja, das passt, wenn du es mit den nötigen Anmerkungen versiehst ...
>
> qed
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Ok, danke. :)
Ach ja, da war die eigentliche Aufgabe mit gemeint, sorry, ich werde nächstes mal für mehr Übersicht sorgen.
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