Gruppe zyklisch oder abelsch < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | geg: Gruppe mit 355 Elementen, z.z. G entweder zyklisch o. nicht abelsch |
Hey, kann mir jemand sagen, wie ich am besten an diese Aufgabe herangehen kann???
mfg piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo piccolo!
> geg: Gruppe mit 355 Elementen, z.z. G entweder zyklisch o.
> nicht abelsch
> Hey, kann mir jemand sagen, wie ich am besten an diese
> Aufgabe herangehen kann???
Das haengt ganz davon ab was du schon ueber endliche Gruppen weisst. Hattet ihr den Hauptsatz ueber endlich erzeugte abelsche Gruppen? (Damit ist's trivial.) Oder die Sylow-Saetze? (Schau dir zu den Primteilern von 355 die Sylowgruppen an, zeige dass sie Normalteiler sind und die Gruppe isomorph zum Produkt der Sylowgruppen ist, und ueberleg dir dass die Sylowgruppen zyklisch sind und deren Produkt ebenso zyklisch.)
LG Felix
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hey, also ich hab jetzt berechnet (355=71*5), dass es nur eine 71-Sylowgruppe gibt, dass heisst doch auch gleichzeitig, dass diese Normalteiler ist, oder??
Dann hab ich noch, dass es eine oder 71 5-Sylowgruppen gibt. Hier hätte ich jetzt gedacht, dass es nur eine geben kann, dann wäre diese auch Normalteiler, aber es kann auch 71 geben oder? Denn angenommen es gibt 71, dann gibt es ja ein neutrales Element, 1*(70-1)=70 Elemente der 71-Sylowgruppe und 71*(5-1)=284 Elemente in den 71 5-Sylowgruppen. Wenn ich das addieren, dann hab ich doch [mm] 1+70+284=355\le|G|=355. [/mm] Also geht das doch oder?? aber wie zeig ich nun, dass dies auch Normalteiler ist???
mfg piccolo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo piccolo!
> hey, also ich hab jetzt berechnet (355=71*5), dass es nur
> eine 71-Sylowgruppe gibt, dass heisst doch auch
> gleichzeitig, dass diese Normalteiler ist, oder??
Schon. Aber ich glaube du machst dir hier zu viel Arbeit.
Du hast zwei Faelle: $G$ ist kommutativ, und $G$ ist nicht kommutativ.
Im zweiten Fall bist du sofort fertig.
Im ersten Fall ist jede Untergruppe Normalteiler, also auch die $p$-Sylow-UG, womit es automatisch nur eine zu jeder Primzahl gibt.
LG Felix
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Achso, also genügt, es wenn ich jetzt so begründe:
G ist nicht kommutativ:
wenn ich dann 71 5-Sylowgruppen hab dann gilt's.
G ist kommutativ:
Aus der Kommutativität folgt, dass ich nur eine 5-Sylowgruppe hab, die dann Normalteiler ist und fertig??
mfg piccolo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo piccolo!
> Achso, also genügt, es wenn ich jetzt so begründe:
>
> G ist nicht kommutativ:
> wenn ich dann 71 5-Sylowgruppen hab dann gilt's.
Hier brauchst du die Sylowgruppen nichtmals zu erwaehnen.
> G ist kommutativ:
> Aus der Kommutativität folgt, dass ich nur eine
> 5-Sylowgruppe hab, die dann Normalteiler ist und fertig??
Naja, fertig ist man nicht sofort. Aber jetzt hast du zwei Normalteiler, deren Produkt die ganze Gruppe ist und die beide zyklisch sind (mit teilerfremden Ordnungen). Daraus folgt die Behauptung mit einer kleinen Argumentation.
LG Felix
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ok, danke, ich denke den Rest bekomm ich jetzt hin
mfg piccolo
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