Gruppe und Untergruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Di 15.11.2005 | | Autor: | ulTra |
Hallihallo,
ich hab hier eine Aufgabe blicke nicht ganz durch was gemeint ist.
1) Sei (G, [mm] \gamma [/mm] ) eine Gruppe.
Zeigen Sie:
a)
Z(G):={a [mm] \in [/mm] G| für alle b [mm] \in [/mm] G gilt a [mm] \gamma [/mm] b = b [mm] \gamma [/mm] a}, das Zentrum von G, ist eine kommutative Untergruppe von G.
Soweit so gut...
1. Frage: Was ist ein Zentrum einer Gruppe ?
Vermutung: das neutrale Element in G ? also für jedes a [mm] \in [/mm] G gibts ein [mm] a^{-1}. [/mm] Zusammen ergeben das Paar das neutrale Element.
Zu zeigen:
Z(G) ist eine Untergruppe von G.
I: Z--->Z, a · x · [mm] a^{-1} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] G
Eine Untergruppe Z einer Gruppe (G,tau ) heißt Normalteiler oder normale Untergruppe, wenn
a [mm] \gamma [/mm] Z [mm] \gamma a^{-1} [/mm] für allel a [mm] \in [/mm] G
Wenn a [mm] \gamma [/mm] Z = Z [mm] \gamma [/mm] a für alle a [mm] \in [/mm] G dann ist genau ein Normalteiler.
Und dann ...?
Inwiefern kann man mit den Sätzen aus der Gruppenhomomorphie argummentieren?
Bedanke mich jetzt schon mal für jeden Hinweis.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallihallo,
> ich hab hier eine Aufgabe blicke nicht ganz durch was
> gemeint ist.
>
> 1) Sei (G, [mm] \gamma [/mm] ) eine Gruppe.
> Zeigen Sie:
> a)
> Z(G):={a [mm] \in [/mm] G| für alle b [mm] \in [/mm] G gilt a [mm] \gamma [/mm] b = b
[mm] >\gamma [/mm] a}, das Zentrum von G, ist eine kommutative
> Untergruppe von G.
>
> Soweit so gut...
Hallo,
> 1. Frage: Was ist ein Zentrum einer Gruppe ?
Das steht doch da!!! Die Menge Z(G). Welche auch als "Zentrum von G" bezeichnet wird.
> Vermutung: das neutrale Element in G ? also für jedes a
[mm] >\inG [/mm] gibts ein [mm] a^{-1}. [/mm] Zusammen ergeben das Paar das
> neutrale Element.
Das Zentrum von G, also Z(G), enthält all die Elemente von G, welche man mit allen anderen Elementen vertauschen kann. Somit ist klar, daß das neutrale Element im Zentrum ist. Das Zentrum ist also niemals leer.
Und bei abelschen Gruppen? Das nur so nebenbei.
Zeigen sollst Du nun, daß diese Menge Z(G) eine Untergruppe von G ist.
Damit ist die Aufgabe klar, oder?
Im folgenden habe ich den Verdacht, daß beim Abschreiben von Aufgabenblatt einiges auf der Strecke geblieben ist, könnte das sein?
>
> Zu zeigen:
> Z(G) ist eine Untergruppe von G.
Das hatten wir ja schon da oben...
Kommt jetzt die nächste Aufgabe? Wie lautet die Frage? Die Frage auf dem Aufgabenblatt, meine ich.
> I: Z--->Z, a · x · [mm]a^{-1}[/mm] für alle x [mm]\in[/mm] G
Eine Abbildung anscheinend.
Bist Du Dir sicher, daß Du den Definitionsbereich richtig angegeben hast? Müßte es vielleicht eher G heißen?...
Jedenfalls ist die Abbildung - bzw. das was herauskommt, wenn man das da oben durch die rosarote Brille betrachtet - ein Homomorphismus.
> Eine Untergruppe Z einer Gruppe (G,tau
Warum jetzt plötzlich [mm] \tau [/mm] ? Wir hatten doch [mm] \gamma, [/mm] oder?
heißt
> Normalteiler oder normale Untergruppe, wenn
>
> a [mm]\gamma[/mm] Z [mm]\gamma a^{-1}[/mm] für allel a [mm]\in[/mm] G
Hä??? Das bedeutet doch gar nichts!
Die Definition für "Normalteiler":
Eine Untergruppe Z von G heißt Normalteiler v. G <==> a [mm] \gamma [/mm] Z [mm] \gamma a^{-1} \subseteq [/mm] Z für alle a [mm] \in [/mm] G.
> Wenn a [mm]\gamma[/mm] Z = Z [mm]\gamma[/mm] a für alle a [mm]\in[/mm] G dann ist
> genau ein Normalteiler.
Genau. Das ist eine äquivalente Bedingung für Normalteiler.
Sollst du das zeigen? Falls ja: betrachte [mm] aZa^{-1} [/mm] und [mm] a^{-1}Za.
[/mm]
>
>
> Und dann ...?
> Inwiefern kann man mit den Sätzen aus der
> Gruppenhomomorphie argummentieren?
Wenn Du mitgeteilt hättest, wofür oder wogegen du argumentieren möchtest bzw. sollst...
Ich reime mir zusammen, daß die Aufgabe ist, zu zeigen, daß Z(G) ein Normalteiler ist.
Na, habe ich das anhand der Indizien richtig rekonstruiert?
"Normalteiler" und "Homomorphismus" kommen zusammen in dem Satz, welcher besagt, daß eine Teilmenge einer gruppe genau dann ein Normalteiler ist, wenn sie Kern eines Gruppenhomomorphismus ist.
Gruß v. Angela
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> Bedanke mich jetzt schon mal für jeden Hinweis.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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