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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Di 04.03.2008 | | Autor: | Mach17 |
| Aufgabe | Zeige, dass die Menge der Funktionen f,g,h,i mit
f(x)=x, g(x)=-x, h(x)=1/x, i(x)=-1/x
eine abelsche Gruppe bildet, wenn man als Verknüpfung die Verkettung von Funktionen benutzt: (f*g)(x) = f(g(x))
a) Stellen Sie eine Verknüpfungstafel auf
b Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass für beliebige Funktionen die Verkettung nicht kommutativ ist. |
Nabend!
Also eine normale abelsche Gruppe kann ich eig nachweisen, nur hier habe ich anstatt z.b. [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IZ [/mm] auf einmal 4 Funktionen, also quasi 4 Sachen anstatt einer, damit komm ich nicht zurecht, bzw ich weiss nicht genau wie ich die Sache angehen soll?
Und wie genau hat eine "Verknüpfungstafel" auszusehen?
Danke schonmal!
mfg
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Hallo Mach17,
> Zeige, dass die Menge der Funktionen f,g,h,i mit
> f(x)=x, g(x)=-x, h(x)=1/x, i(x)=-1/x
> eine abelsche Gruppe bildet, wenn man als Verknüpfung die
> Verkettung von Funktionen benutzt: (f*g)(x) = f(g(x))
>
> a) Stellen Sie eine Verknüpfungstafel auf
> b Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass für beliebige
> Funktionen die Verkettung nicht kommutativ ist.
> Nabend!
> Also eine normale abelsche Gruppe kann ich eig nachweisen,
> nur hier habe ich anstatt z.b. [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IZ[/mm] auf einmal 4
> Funktionen, also quasi 4 Sachen anstatt einer, damit komm
> ich nicht zurecht, ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was genau meinst du damit? Das ist eine Gruppe mit 4 Elementen, die Elemente sind hier Funktionen
> bzw ich weiss nicht genau wie ich die
> Sache angehen soll?
Naja, in diesem Falle sind in der Menge G, die die Gruppe bilden soll, halt keine Zahlen, sondern Funktionen.
Gruppen umfassen ja nicht nur die anschaulichen Zahlen, sondern können weit abstrakter sein.
Halte dich einfach an die zu überprüfenden Axiome, bzw. führe den Beweis über das Aufstellen der Gruppentafel, wie in Aufgabe (a) gefordert.
Zuerst kannst du ja vorab mal überlegen, welche der Funktionen f, g, h, oder i denn wohl als neutrales Element bzgl. der Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] fungiert...
>
> Und wie genau hat eine "Verknüpfungstafel" auszusehen?
> Danke schonmal!
> mfg
Damit ist eine "ganz normale" Gruppentafel gemeint, so wie bei der Gruppe [mm] $(\IZ,+)$, [/mm] hier halt mit [mm] $(G,\circ)$
[/mm]
Ich rechne mal exemplarisch eine Verknüpfung, nehmen wir [mm] $(g\circ i)(x)=\red{g}(\blue{i(x)})=\red{-}\blue{\left(-\frac{1}{x}\right)}=\frac{1}{x}=h(x)$
[/mm]
Andererseits ist [mm] $(i\circ g)(x)=\blue{i}(\red{g(x)})=\blue{-}\frac{\blue{1}}{\red{-x}}=\frac{1}{x}=h(x)$
[/mm]
Also [mm] $(g\circ i)(x)=(i\circ [/mm] g)(x)$
Genauso mit allen anderen Möglichkeiten der Verknüpfung...
Ich hoffe, das hilft dir erst einmal weiter 
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Di 04.03.2008 | | Autor: | Mach17 |
Hallo.
Danke für deine Hilfe!
Konnte bis jetzt noch nich weitermachen, da ich noch für eine andere Klausur was lernen muss, aber ich glaube damit schaff ich die Aufgabe
Werd mich nachher nochmal dran setzen.
Danke nochmals
mfg
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Hallo Mach17,
> Zeige, dass die Menge der Funktionen f,g,h,i mit
> f(x)=x, g(x)=-x, h(x)=1/x, i(x)=-1/x
> eine abelsche Gruppe bildet, wenn man als Verknüpfung die
> Verkettung von Funktionen benutzt: (f*g)(x) = f(g(x))
>
> a) Stellen Sie eine Verknüpfungstafel auf
> b Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass für beliebige
> Funktionen die Verkettung nicht kommutativ ist.
> Nabend!
> Also eine normale abelsche Gruppe kann ich eig nachweisen,
> nur hier habe ich anstatt z.b. [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IZ[/mm] auf einmal 4
> Funktionen, also quasi 4 Sachen anstatt einer, damit komm
> ich nicht zurecht, bzw ich weiss nicht genau wie ich die
> Sache angehen soll?
>
> Und wie genau hat eine "Verknüpfungstafel" auszusehen?
> Danke schonmal!
> mfg
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Gruppe in unserem SchulMatheLexikon, also in unserer MatheBank
Die Tabelle könnte etwa so aussehen: jeweils mit der Verkettung als Verknüpfung ausrechnen:
[mm] $f(x)\circ [/mm] f(x)=f(f(x))=x=f(x)$
[mm] \begin{array}{|r|llll|}
\hline (G,\circ) & f(x) & g(x) & h(x) & i(x) \\
\hline f(x) & f(x) & & & \\
g(x) & & & & h(x) \\
h(x) & & & & \\
i(x) & & & & \\ \hline
\end{array} [/mm]
Damit die Gruppe abgeschlossen ist, dürfen als Ergebnis nur die gegebenen Funktionen auftreten...
Gruß informix
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