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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Sa 12.09.2009 | | Autor: | EvaNau |
| Aufgabe | 1. Wie viele Elemente haben die Gruppen [mm] GL_{2}(\IF_{2}) [/mm] und [mm] GL_{3}(\IF_{2})?
[/mm]
2. Können sie die Größe von [mm] GL_{n}(\IF_{2}) [/mm] für allgemeines n angeben?(Hier ist kein Beweis erforderlich) |
Ich komme bei dieser Frage leider gar nicht weiter. Im Internet und in meinen Büchern hab ich alles abgesucht nach der Größe dieser Gruppen.
Es wäre total toll wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Am Dienstag ist die Klausur.
Mein einziger Ansatz ist, dass ja zB [mm] \IZ_{3}^5 [/mm] , [mm] 3^5 [/mm] = 243 Elemente hat. Kann man das irgendwie auf die Aufgabe oben übertragen? zB 2^(n*n) oder so?
Vielen Dank im voraus, Eva
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Eva,
> 1. Wie viele Elemente haben die Gruppen [mm]GL_{2}(\IF_{2})[/mm] und
> [mm]GL_{3}(\IF_{2})?[/mm]
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> 2. Können sie die Größe von [mm]GL_{n}(\IF_{2})[/mm] für
> allgemeines n angeben?(Hier ist kein Beweis erforderlich)
> Ich komme bei dieser Frage leider gar nicht weiter. Im
> Internet und in meinen Büchern hab ich alles abgesucht
> nach der Größe dieser Gruppen.
> Es wäre total toll wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
> Am Dienstag ist die Klausur.
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> Mein einziger Ansatz ist, dass ja zB [mm]\IZ_{3}^5[/mm] , [mm]3^5[/mm] = 243
> Elemente hat. Kann man das irgendwie auf die Aufgabe oben
> übertragen? zB 2^(n*n) oder so?
Ich denke, die Aufgabe 1 ist eher im Sinne von "Probieraufgabe" gedacht 
Mache dir zunutze, dass eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante [mm] $\neq [/mm] 0$ ist.
(bzw. wenn die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren linear unabh. sind)
Außerdem hat [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] lediglich die beiden Elemente [mm] $\overline{0}$ [/mm] und [mm] $\overline{1}$
[/mm]
Schaue dir mal mögliche Matrizen des Formats [mm] $2\times [/mm] 2$ mit Einträgen aus [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] an und die zugeh. Determinante. (bzw. die zugeh. Spaltenvektoren und ob sie linear (un)abhängig sind)
Dann solltest du schnell darauf kommen, welche [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrizen mit Einträgen aus [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] nur invertierbar sind
Das kannst du mit etwas Mehraufwand auch für [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen untersuchen.
Vllt. fällt dabei ein Schema auf, das sich auf allg. [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen über [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] ausdehnen lässt ...
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> Vielen Dank im voraus, Eva
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:38 Sa 12.09.2009 | | Autor: | EvaNau |
Ja das dachte ich mir schon, dass man das probieren muss. Hab auch schonmal mit den 2,2 Matrizen angefangen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \pmat{ 0 & 1 \\ 1& 0 } \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1} \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 } \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
diese 6 müssten doch alle sein. ist dann die "formel:" 2+2+2=6 ...es wäre zu schön um wahr zu sein. dann wären es bei den 3,3 matrizen: 3+3+2=8??
und für die 2te aufgabe: n+n+2=2+2n
oder ist das jetzt der totale holzweg?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Sa 12.09.2009 | | Autor: | EvaNau |
oder vllt: [mm] 2^2+2=6
[/mm]
und damit bei den 3,3 matrizen: [mm] 3^2+2=11
[/mm]
vielen Dank für deine erste Antwort übrigens...das hab ich eben unhöflicherweise vergessen :)
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Hallo EvaNau!
> Ja das dachte ich mir schon, dass man das probieren muss.
> Hab auch schonmal mit den 2,2 Matrizen angefangen:
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \pmat{ 0 & 1 \\ 1& 0 } \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1} \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 } \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
Das hab' ich auch raus.
> diese 6 müssten doch alle sein. ist dann die "formel:"
> 2+2+2=6 ...es wäre zu schön um wahr zu sein. dann wären
> es bei den 3,3 matrizen: 3+3+2=8??
> und für die 2te aufgabe: n+n+2=2+2n
Ich glaube nicht, dass man aus nur einem Beispiel direkt eine Formel ableiten kann. Außerdem wäre dann die Frage mit den [mm] $3\times [/mm] 3$-Matrizen überflüssig. Die solltest du auf jeden Fall auch mal durch ausprobieren herausfinden. Evtl. kann man das Allgemeine dann vllt sogar mit Induktion beweisen - weiß ich aber nicht. Am besten überprüfst du später deine Formel aber noch für [mm] $4\times [/mm] 4$-Matrizen.
Ein Tipp zum Rumprobieren: Berechne die Determinante und stelle Bedingungen auf, wann diese =0 ist und was dann für die Einträge gilt. Dann findest du mehrere Matrizen auf einmal...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 14.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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