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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Do 03.11.2005 | | Autor: | ttgirltt |
Hallo also erstmal die Aufgabe: G ist Gruppe mit neutralen element e. Eine Teilmenge H [mm] \subset [/mm] G heißt Untergruppe, wenn H [mm] \not= \emptyset [/mm] und wenn für alle a,b [mm] \in [/mm] H gilt: [mm] ab^{-1} \in [/mm] H. Zeige das H [mm] \subset [/mm] G genau dann eine Untergruppe ist wenn gilt: a) für alle [mm] a,b\subset [/mm] H ist [mm] ab\in [/mm] H
b) e [mm] \in [/mm] H
c) Für alle a [mm] \in [/mm] H ist [mm] a^{-1}\in [/mm] H.
Wie mit Hilfe von welchen Definitionen kann man das beweisen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wenn a) bis c) gelten, ist sofort klar, dass $H$ eine Untergruppe ist.
Jetzt sei $H$ eine Untergruppe.
Dann gibt es ein $a [mm] \in [/mm] H$ wegen $H [mm] \ne \emptyset$. [/mm] Dann ist aber auch [mm] $e=aa^{-1} \in [/mm] H$, d.h. b) ist erfüllt. Weiterhin ist aber auch [mm] $a^{-1} [/mm] = [mm] ea^{-1} \in [/mm] H$, d.h. c) ist erfüllt. Zu zeigen bleibt a). Das geht so:
Es seien $a,b [mm] \in [/mm] G$. Nach b) (bereits gezeigt) gilt: [mm] $b^{-1} \in [/mm] G$. Dann ist aber auch
$ab = [mm] a(b^{-1})^{-1} \in [/mm] G$,
fertig.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Do 03.11.2005 | | Autor: | ttgirltt |
Also versteh ich das richtig es müssen alle 3Aussagen gleichzeitig gelten??
Und so wie du das gemacht hast wars das schon??
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