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| Aufgabe | Die Menge der Verschiebungen mit der Verknüpfung ist eine Gruppe.
Ist die Gruppe kommutativ? |
Ich bin soeben mal einige Übungen durchgegangen und bei diesem Beispiel stehen geblieben. Wie zeigt/beweist man sowas?
Ich kann das für die Verkettung von von Geradenspiegelungen beweisen aber nicht für die Verschiebung.
gezeigt werden muss ja: Abgeschlossenheit, Assoziativität, neutrales Element, Inverses.
Für die Gerdaenspiegelung ist die Gruppe demnach auch nicht kommutativ.
Wie zeige ich das aber im Fall der Verschiebung? Gibt es dazu bei google Erklärungen?
Gruß
Mathegirl
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Hallo,
Stichwort Vektoraddition... 
Gruß, Diophant
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hmm...entweder stehe ich gerade auf der Leitung oder oder kann damit nicht viel anfangen.......
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> hmm...entweder stehe ich gerade auf der Leitung oder oder
> kann damit nicht viel anfangen.......
Schreib mal die Verkettung zweier Verschiebungen hin. Dann sehen wir weiter
FRED
>
>
>
> Mathegirl
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ich weiß es nicht.....also die Verknüpfung/ Hintereinanderausführung von zwei Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung....
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Hallo Mathegirl,
> ich weiß es nicht.....also die Verknüpfung/
> Hintereinanderausführung von zwei Verschiebungen ist
> wieder eine Verschiebung....
Damit ist die Menge der Verscheibungen abgeschlossen unter Verknüpfung.
Also ist Punkt 1 erledigt.
Nun weiter im Text ...
Gilt Assoziativität?
Welche Verschiebung verhält sich neutral unter Verkettung?
Was ist die Inverse zu einer gegebenen Verschiebung?
Gilt Kommutativität? ...
Kannst du deine intuitive(n) Aussage(n) durch einen rechnerischen Beweis belegen?
Wie habt ihr eine Verschiebung definiert?
Gruß
schachuzipus
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Das Problem ist das mathematische formulieren, denn was gemeint iast und was gelten muss ist nicht das Problem!
Die Verscheibung [mm] V_{S,T}wurde [/mm] definiert als die Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P seinen Bildpunkt P´zuordnet.
Die Gruppe müsste kommutativ sein!
Ich kann das ganze einfach nicht mathematisch formulieren!
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Hallo nochmal,
> Das Problem ist das mathematische formulieren, denn was
> gemeint iast und was gelten muss ist nicht das Problem!
>
> Die Verscheibung [mm]V_{S,T}wurde[/mm] definiert als die Abbildung
> der Ebene auf sich, die jedem Punkt P seinen Bildpunkt
> P´zuordnet.
Und durch welche Abbildungsvorschrift??
>
> Die Gruppe müsste kommutativ sein!
>
> Ich kann das ganze einfach nicht mathematisch formulieren!
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
das gilt für jede beliebige Abbildung der Ebene auf sich, also bspw. auch für Drehungen. Das entscheidende ist doch die Zuordnungsvorschrift, da muss doch irgendwas definiert worden sein. Und mein Tipp mit der Vektoraddition sollte dich eigentlich schon darauf hinweisen: welche geometrische Deutung kommt denn einem zweidimensionalen Vektor über [mm] \IR [/mm] in der Ebene zu?
Gruß, Diophant
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ich verstehe das ganze einfach nicht... mit der Geradenspiegelung als Gruppe ist kein Problem, aber die Verschiebung! Kann man das nicht irgendwo als Beweis nachlesen? dann könnte ich es vielleicht nachvollziehen..
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Hallo,
eine Verschiebung in der Ebene kann man durch einen zweidimensionalen Vektor beschreiben. Und was gilt denn so alles an Axiomen für die Addition in einem Vektorraum?
Gruß, Diophant
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ich geb es erstmal auf, da ich so nicht weiterkomme. es ist ja auch nicht wichtig, es halt mich halt bloß interessiert! vielleicht kann mir jemand literatur nennen wo das erklärt ist oder eine Internetseite?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Seien a,b [mm] \in \IR^2
[/mm]
und die Abbildungen
[mm] f_1,f_2: \IR^2 \to \IR^2
[/mm]
gegeben durch: [mm] f_1(x):=x+a, f_2(x):=x+b
[/mm]
Dann ist doch [mm] $(f_1 \circ f_2)(x) [/mm] =x+a+b = [mm] (f_2 \circ f_2)(x) [/mm] $
Also: [mm] f_1 \circ f_2=f_2 \circ f_1
[/mm]
FRED
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...das ist die kummutaivität oer was genau hast du jetzt gezeigt?
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> ...das ist die kummutaivität oer was genau hast du jetzt
> gezeigt?
Nein, die Kommutativität
FRED
>
> Mathegirl
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okay...also noch einen anlauf:
Jede Verschiebung [mm] V_{S,T} [/mm] kann als Kompositum zweier Geradenspiegelungen
[mm] S_{g2}\circ S_{g1} [/mm] dargestellt werden.
[mm] \gamma (\gamma \in \IK) [/mm] sei die Kongruenzabbildung
Dann müsste doch für die Verscheibung gelten:
Abgeschlossenheit:
[mm] \gamma_1 [/mm] = [mm] S_{a_m}\circ S_{a_{m-1}}\circ S_{a_{m-2}}\circ [/mm] ... [mm] \circ S_{a1}
[/mm]
[mm] \gamma_2 [/mm] = [mm] S_{b_n}\circ S_{b_{n-1}}\circ S_{b_{n-2}}\circ [/mm] ... [mm] \circ S_{b1}
[/mm]
[mm] \gamma_2 \circ \gamma_1= (S_{b_n}\circ S_{b_{n-1}}\circ S_{b_{n-2}}\circ [/mm] ... [mm] \circ S_{b1}) \circ (S_{a_m}\circ S_{a_{m-1}}\circ S_{a_{m-2}}\circ [/mm] ... [mm] \circ S_{a1})
[/mm]
Es folgt daher [mm] \gamma_2 \circ \gamma_1
[/mm]
oder liege ich damit ganz falsch??
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Hallo,
könntest du mal erläutern, was du damit meinst, ich verstehe es ehrlich gesagt nicht, und es sieht mir auch viel zu umständlich aus.
Gruß, Diophant
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meinte ich doch ;)
okay, allerdings ist mir die Schreibweise mit f und x nicht so bekannt!
Abgeschlossenheit:
Die Verknüpfung zweier Verscheibungen ist wieder eine Verschiebung
[mm] f_1\circ f_2 [/mm] = [mm] (x+a)\circ(x+b) [/mm]
Assoziativität:
[mm] (f_1\circ f_2)\circ f_3= f_1\circ (f_2\circ f_3)
[/mm]
neutrales Element
[mm] e\circ f_1= f_1\circ [/mm] e= [mm] f_1
[/mm]
inverses Element:
[mm] f_1\circ f_1^-1= f_1^-1\circ f_1 [/mm] = e
okay...aber es geht ja hierbei um die MENGE DER VERSCHIEBUNGEN!!! und es soll geometrisch sein. daher versteh ich das hier alles so ziemlich überhaupt nicht!
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Hallo,
vielleicht wird es dir so deutlicher:
[mm]f_a(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{a}[/mm]
beschreibt eine Verschiebung jedes Punktes um den Vektor a. Für jedes a bekommst du also eine wohldefinierte Verschiebung. Und jetzt erinnere dich einfach mal an die Schulmathematik zurück, wie hat denn die Addition von Vektoren rechnerisch funktioniert (auf welche Rechenoperation führt man sie zurück?) und was hat sie geometrisch bewirkt?
Es bringt dir IMO nichts, wenn dir das jemand einfach aufschreibt. Es ist immens wichtig, auf Lösungen zu Aufgaben wie dieser selbst zu kommen.
Gruß, Diophant
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..schaut mal bitte meinen beitrag andr noch nicht beantwortet ist...ich glaube das zeigt man ehr auf diese weise oder liege ich da falsch?
MfG
Mathegirl
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Hallo,
ich habe dir oben geantwortet. Um die Aufgabe zielführend zu einem Ende bringen zu können, wäre es an der Zeit, dass du uns mitteilst, von welchen Grundvoraussetzungen ausgegangen werden soll.
Gruß, Diophant
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