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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Fr 07.10.2011 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Sei G = [mm] (\IZ [/mm] / 210 [mm] \IZ )^\times [/mm]
Bestimme alle natürlichen Zahlen n, für die Elemente g in dieser Gruppe gibt mit ord(g) = n. |
Hallo zusammen :)
mal wieder ne Algebrafrage :)
Hier mal mein Lösungsansatz.
210 = 2*3*5*7
Mit der Eulerschen Phi-Funktion kann man die Kardinalität von G berechnen.
Diese ist: 1*2*4*6 = 48.
Also hat G 48 Elemente. Außerdem ist G abelsch.
Da es bei abelschen Gruppen zu jedem Teiler der Gruppenordnung Untergruppen gibt, gibt es Untergruppen der Ordnungen:
{1,2,3,4,8,12,24,48}
Demzufolge gibt es Elemente dieser Ordnungen und dies sind alle natürlichen Zahlen.
Stimmt das so?
Hab irgendwie ein ungutes Gefühl^^ War mir zu einfach^^
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Fr 07.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei G = [mm](\IZ[/mm] / 210 [mm]\IZ )^\times[/mm]
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> Bestimme alle natürlichen Zahlen n, für die Elemente g in
> dieser Gruppe gibt mit ord(g) = n.
> Hallo zusammen :)
>
> mal wieder ne Algebrafrage :)
>
> Hier mal mein Lösungsansatz.
>
> 210 = 2*3*5*7
>
> Mit der Eulerschen Phi-Funktion kann man die Kardinalität
> von G berechnen.
> Diese ist: 1*2*4*6 = 48.
>
> Also hat G 48 Elemente. Außerdem ist G abelsch.
>
> Da es bei abelschen Gruppen zu jedem Teiler der
> Gruppenordnung Untergruppen gibt, gibt es Untergruppen der
> Ordnungen:
> {1,2,3,4,8,12,24,48}
Das stimmt.
> Demzufolge gibt es Elemente dieser Ordnungen und dies sind
> alle natürlichen Zahlen.
Hier nicht mehr umbedingt: [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$ [/mm] hat 4 Elemente, es gibt Untergruppen der Ordnung 1, 2, 4, jedoch gibt es kein Element der Ordnung 4.
Du musst also genauer hinschauen.
LG Felix
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