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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Do 06.10.2011 | | Autor: | Zukku |
| Aufgabe | | Sei (G,.,1) eine (multiplikative) Gruppe. Zeigen Sie, dass falls alle Elemente [mm] g\neq [/mm] 1 die Ordnung 2 haben (also g²=1 erfüllen), G abelsch ist. |
Ich habe mir die Frage überlegt und würde sie so beantworten:
Seien g,h zwei Elemente aus G. [mm] \Rightarrow [/mm] g²=1 und h²=1 [mm] \Rightarrow [/mm] g=g{-1} und [mm] h=h^{-1}
[/mm]
gh ist, da eine Gruppe abgeschlossen ist, wieder in G.
[mm] \Rightarrow [/mm] (gh)²=1. [mm] \Rightarrow [/mm] ghgh=1 [mm] \Rightarrow ghg=h^{-1}=h \Rightarrow hg=g^{-1}h=gh, [/mm] was zu zeigen war.
Ich glaube schon, dass ich die Aussage damit bewiesen habe, was mich aber verwirrt, ist, dass in der Angabe [mm] g\neq [/mm] 1 steht. Ist das nur zur Verwirrung? Ist 1² nicht automatisch in jeder Gruppe gleich 1?
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> Sei (G,.,1) eine (multiplikative) Gruppe. Zeigen Sie, dass
> falls alle Elemente [mm]g\neq[/mm] 1 die Ordnung 2 haben (also g²=1
> erfüllen), G abelsch ist.
> Ich habe mir die Frage überlegt und würde sie so
> beantworten:
> Seien g,h zwei Elemente aus G. [mm]\Rightarrow[/mm] g²=1 und h²=1
> [mm]\Rightarrow[/mm] g=g{-1} und [mm]h=h^{-1}[/mm]
>
> gh ist, da eine Gruppe abgeschlossen ist, wieder in G.
> [mm]\Rightarrow[/mm] (gh)²=1. [mm]\Rightarrow[/mm] ghgh=1 [mm]\Rightarrow ghg=h^{-1}=h \Rightarrow hg=g^{-1}h=gh,[/mm]
> was zu zeigen war.
sieht gut aus.
> Ich glaube schon, dass ich die Aussage damit bewiesen habe,
> was mich aber verwirrt, ist, dass in der Angabe [mm]g\neq[/mm] 1
> steht. Ist das nur zur Verwirrung? Ist 1² nicht
> automatisch in jeder Gruppe gleich 1?
doch, aber es ist von der Ordnung die Rede.
Die Ordnung ist die kleinste natürliche Zahl n, für die [mm] $g^n [/mm] = 1$.
Das heißt schlicht die 1 hätte immer Ordnung 1 (da [mm] 1^1 [/mm] = 1) und somit könnte 1 nie Ordnung 2 haben.
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Do 06.10.2011 | | Autor: | Zukku |
Ah, dann ist mir jetzt alles klar! Vielen Dank!
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