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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 So 01.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe mal ein paar kleine Fragen.
Ich wollte folgende Integrale lösen:
j) [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{sin(x)} dx}
[/mm]
p) [mm] \integral_{}^{} {\bruch{2}{1+3*cos(x)} dx}
[/mm]
q) [mm] \integral_{}^{} {\bruch{2}{3+cos(x)} dx}
[/mm]
t) [mm] \integral_{}^{} {\bruch{2}{1+3*cos(x)^{2}} dx}
[/mm]
Die Lösung dieser Integrale (bis auf t) war recht einfach, sofern es erlaubt ist, Grundintegrale zu verwenden.
Jetzt ist meine Frage: Ist die Lösung dieser Integrale ohne Verwendung der Grundintegrale aus dem Tafelwerk einfach oder wird dies sehr komplex?
Vielleicht könnte jmd. ja mal ein paar Lösungsvorschläge posten?
Bei Aufgabe t hab ich leider gar keinen Ansatz! Wäre für einen Tipp sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 So 01.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Maiko
> j) [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{sin(x)} dx}[/mm]
>
> p) [mm]\integral_{}^{} {\bruch{2}{1+3*cos(x)} dx}[/mm]
>
> q) [mm]\integral_{}^{} {\bruch{2}{3+cos(x)} dx}[/mm]
>
> t) [mm]\integral_{}^{} {\bruch{2}{1+3*cos(x)^{2}} dx}[/mm]
>
> Die Lösung dieser Integrale (bis auf t) war recht einfach,
> sofern es erlaubt ist, Grundintegrale zu verwenden.
> Jetzt ist meine Frage: Ist die Lösung dieser Integrale
> ohne Verwendung der Grundintegrale aus dem Tafelwerk
> einfach oder wird dies sehr komplex?
An sich lässt sich jedes Integral lösen, ohne Tafelwerk. Dazu ist lediglich die Kenntnis einiger grundlegenden Techniken nötig.
Die wichtigsten sind einmal die Erkenntnis, dass das Integrieren und Differenzieren einander aufheben. (Hintereinander ausgeführt neutralisieren sie sich, bei Stammfunktionen ist allerdings die Lösung nur bis auf eine Konstante eindeutig)
Dann noch die wichtige Methode der Partiellen Integration, die Substitutionsmethode sowie die Partialbruchzerlegung.
In einem fortgeschritteneren Stadium dann auch noch die Transformationsformel (Integration bei Koordinatentransformation).
Wichtig ist, und darauf kommt man nicht unbedingt von alleine, das folgende:
Wenn man einen rationalen Ausdruck hat, wo Cosinus und Sinus vorkommen, wie das bei deinen Aufgaben der Fall ist, dann führt die folgende Substitution, wenigstens im Prinzip, zum Ziel:
[mm] $\tan\bruch{x}{2}:=t$ [/mm] bzw. [mm] $x:=2\arctan{t}$
[/mm]
Damit wird
[mm] $\sin [/mm] x := [mm] \bruch{2t}{1+t^2}$
[/mm]
[mm] $\cos [/mm] x := [mm] \bruch{1-t^2}{1+t^2}$
[/mm]
$dx := [mm] \bruch{2 \,dt}{1+t^2}$
[/mm]
Auf deine letzte Aufgabe angewendet, sähen die ersten Schritte etwa so aus:
[mm] $\integral{\bruch{2}{1+3\cos(x)^2} dx} [/mm] = $
[mm] $\integral{\bruch{2}{1+3*\bruch{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}}*\bruch{2}{1+t^2} dt} [/mm] = $
[mm] $\integral{\bruch{2(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2+3(1-t^2)^2}*\bruch{2}{1+t^2} dt} [/mm] = $
[mm] $\integral{\bruch{4(1+t^2)}{1+2t^2+t^4+3-6t^2+3t^4} dt} [/mm] = $
[mm] $\integral{\bruch{4(1+t^2)}{4t^4-4t^2+4} dt} [/mm] = $
[mm] $\integral{\bruch{1+t^2}{t^4-t^2+1} dt}$
[/mm]
Eine Stammfunktion kann dann mit Hilfe der Partialbruchzerlegung weiter gesucht werden. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Do 05.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hey Paul!
Meintest du das in etwa so?
![[]](/images/popup.gif) Blatt 1
Leider kann ich auch dieses Gleichungssystem nicht richtig lösen?
Wo ist mein Fehler?
Wäre für deine Hilfe sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:55 Do 05.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Maiko
Nein, der Ansatz für die Partialbruchzerlegung stimmt nicht! Die Quadrate in den Nennern sind flüssiger als flüssig: überflüssig! 
Der Ansatz ist so:
[mm] $\bruch{t^2+1}{t^4-t^2+1}=\bruch{At+B}{t^2+\wurzel{3}t+1}+\bruch{Ct+D}{t^2-\wurzel{3}t+1}$
[/mm]
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:33 Do 05.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Das erscheint mir unlogisch.
Der Nenner [mm] t^4-t^2+1 [/mm] besitzt 4 komplexe Nullstellen, deshalb brauche ich vier Teilbrüche.
[mm] t^{4}-t^{2}+1=(t^{2}+\wurzel{3}t+1)(t^{2}-\wurzel{3}+1)
[/mm]
Für beide Klammern auf der rechten Seite existieren jeweils zwei komplexe Nullstellen. Es gibt also insgesamt 4 Nullstellen für den ganzen Nenner.
Wir haben das bisher immer in den Seminaren so gemacht, dass man deshalb 4 Teilbrüche verwenden muss.
Was sagst du dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Do 05.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Maiko
dann besuchst du ganz eindeutig das falsche Seminar!
Du hast ja 4 Variablen: A,B,Cund D.
Versuch das bitte mal so!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Maiko |
Hey Paulus.
Vielen Dank für deine Hilfe.
Ich besuche eindeutig ein klasse Seminar. Die Schuld lag aber bei mir.
Ich hatte das ganze falsch verstanden, hab mich aber nochmal schlau gemacht.
Es war alles richtig, was du sagtest
Danke.
Grüße,
Maik
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