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Hallo, ich habe gerae angefangen mich mit Analysis 2 zu beshäftigen, jedoch verstehe ich gerade den Zusammenhang der folgenden Begriffe nicht: Skalarprodukt, Norm, Metrik, Topologie. Also die Definitionen der einzelnen Begriffe sind mir eigentlich klar, aber der Zusammenhang fehlt halt.
Könnte mir das jemand vielleicht mit einfachen Worten erklären. Wäre super.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 So 15.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Hallo, ich habe gerae angefangen mich mit Analysis 2 zu
> beshäftigen, jedoch verstehe ich gerade den Zusammenhang
> der folgenden Begriffe nicht: Skalarprodukt, Norm, Metrik,
> Topologie. Also die Definitionen der einzelnen Begriffe
> sind mir eigentlich klar, aber der Zusammenhang fehlt
> halt.
> Könnte mir das jemand vielleicht mit einfachen Worten
> erklären. Wäre super.
Also wir haben eine Menge $X$, die wir mit verschiedenen "Zusatzstrukturen" ausstatten können
1) Ein Skalarprodukt [mm] $X^2\ni(x,y)\mapsto\langle x,y\rangle\in\IR$. [/mm] Dann heißt [mm] $(X,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ [/mm] ein Raum mit Skalarprodukt.
2) Eine Norm [mm] $X\ni x\mapsto \|x\|\in\IR$. [/mm] Dann heißt [mm] $(X,\|\cdot|)$ [/mm] ein normierter Raum.
3) Eine Metrik [mm] $X^2\ni(x,y)\mapsto d(x,y)\in\IR$. [/mm] Dann heißt $(X,d)$ ein metrischer Raum.
4) Eine Topologie [mm] $\mathcal{T}\subset\mathcal{P}(X)$. [/mm] Dann heißt [mm] $(X,\mathcal{T})$ [/mm] ein topologischer Raum
Nun gibt es folgenden Zusammenhang: Jeder Raum mit Skalarprodukt ist in "kanonischer Weise" ein normierter Raum, ist ein metrischer Raum, ist ein topologischer Raum, denn:
i) [mm] $X\ni x\mapsto \sqrt{\langle x,x\rangle}\in\IR$ [/mm] ist die durch das Skalarprodukt induzierte Norm.
ii) [mm] $X^2\ni(x,y)\mapsto \|x-y\|\in\IR$ [/mm] ist die durch die Norm induzierte Metrik.
iii) [mm] $\mathcal{T}:=\{A\subset X\mid\forall x\in A\exists\varepsilon>0:B_\varepsilon(x)\subset A\}$ [/mm] ist die durch die Metrik induzierte Topologie.
Die Umkehrungen gelten i.A. nicht, d.h. es gibt topologische Räume, auf denen sich keine Metrik definieren lässt, sodass die von dieser Metrik induzierte Topologie gleich der ursprünglichen Topologie ist, usw.
Auf all diesen Stukturen kann man in gewissem Maße Analysis betreiben, Auf topologischen Räumen hat man kompakte Mengen, stetige Abbildungen usw. Auf metrischen Räumen hat man Cauchyfolgen, Konvergenz, beschränkte Menge usw. Auf Normierten Vektorräumen hat man Differenzierbarkeit und auf Vektoräumen mit Skalarprodukt... naja keine Ahnung... Fourieranalyse oder sowas?
In Analysis II geht es hauptsächlich um den Spezialfall [mm] $X=\IR^n$, [/mm] und das ist ein Vektorraum mit Skalarprodukt (ein sog. "Prähilbertraum")
Später, in der Funktionalanalysis untersucht man andere Räume, z.B. den Raum der differenzierbaren Abbildungen oder sowas, allgemeiner: unendlichdimensionale Vektorräume.
Naja hoffe das hilft dir ein bischen, falls du noch Fragen hast, dann frag.
Gruß, Robert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:52 So 15.03.2009 | | Autor: | Heureka89 |
Hi,
danke erstmal für die Antwort. Also es hat mir weitergeholfen, aber anschaulich ist mir es noch nicht ganz klar.
Verstehe ich es richtig, dass die Metrik als Abstand zweier Elemente eines Raumes aufgefasst werden kann?
Und was versteht man unter den anderen Begriffen anschaulich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 So 15.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Hi,
> danke erstmal für die Antwort. Also es hat mir
> weitergeholfen, aber anschaulich ist mir es noch nicht ganz
> klar.
> Verstehe ich es richtig, dass die Metrik als Abstand
> zweier Elemente eines Raumes aufgefasst werden kann?
> Und was versteht man unter den anderen Begriffen
> anschaulich?
Ja, eine Metrik gibt dir den Abstand der beiden Elemente zueinander.
Eine Norm kann man sich anschaulich als die Länge des Vektors vorstellen.
Die anderen beiden... naja, nicht ganz so anschaulich. Vielleicht kann hier jemand anderes was schönes zu schreiben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 So 15.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Also wir haben eine Menge [mm]X[/mm], die wir mit verschiedenen
> "Zusatzstrukturen" ausstatten können
>
> 1) Ein Skalarprodukt [mm]X^2\ni(x,y)\mapsto\langle x,y\rangle\in\IR[/mm].
> Dann heißt [mm](X,\langle\cdot,\cdot\rangle)[/mm] ein Raum mit
> Skalarprodukt.
> 2) Eine Norm [mm]X\ni x\mapsto \|x\|\in\IR[/mm]. Dann heißt
> [mm](X,\|\cdot|)[/mm] ein normierter Raum.
> 3) Eine Metrik [mm]X^2\ni(x,y)\mapsto d(x,y)\in\IR[/mm]. Dann heißt
> [mm](X,d)[/mm] ein metrischer Raum.
> 4) Eine Topologie [mm]\mathcal{T}\subset\mathcal{P}(X)[/mm]. Dann
> heißt [mm](X,\mathcal{T})[/mm] ein topologischer Raum
Kleine Anmerkung:
Bei 1) und 2) muss X nicht nur eine bel. Menge sein, sondern insbesondere ein Vektorraum. Sonst machen die Definitionen von Skalarprodukt und Norm keinen Sinn.
> ... und auf Vektoräumen mit Skalarprodukt... naja keine Ahnung...
> Fourieranalyse oder sowas?
Und Geometrie (man kann Winkel mit Hilfe vom Skalarprodukt definieren).
Und die Quantenmechanik benutzt ebenfalls die Theorie der Hilberträume.
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