Grp.homo. zeigen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie, dass die Abb., die einer komplexen Zahl z die Matrix
[mm] \pmat{ Re(z) & -Im(z) \\ Im(z) & Re(z) }
[/mm]
zuordnet, einen Grp.homo. [mm] \IC [/mm] * [mm] \rightarrow GL_2(\IR) [/mm] definiert. Dabei bezeichnet Re(z) den Realteil und Im(z) den Imaginärteil von z. |
Hallo zusammen,
ich dachte, das bekomme ich locker hin und nun hakt es schon direkt...
Mir ist nicht klar, um welche Verknüpfung es sich dabei handeln soll.
Ist dort nun die Multiplikation oder die Addituion gemeint? Woran erkennt man das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Di 10.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen sie, dass die Abb., die einer komplexen Zahl z die
> Matrix
>
> [mm]\pmat{ Re(z) & -Im(z) \\ Im(z) & Re(z) }[/mm]
>
> zuordnet, einen Grp.homo. [mm]\IC[/mm] * [mm]\rightarrow GL_2(\IR)[/mm]
> definiert. Dabei bezeichnet Re(z) den Realteil und Im(z)
> den Imaginärteil von z.
> Hallo zusammen,
>
> ich dachte, das bekomme ich locker hin und nun hakt es
> schon direkt...
> Mir ist nicht klar, um welche Verknüpfung es sich dabei
> handeln soll.
> Ist dort nun die Multiplikation oder die Addituion
> gemeint? Woran erkennt man das?
Auf [mm]\IC[/mm] * [mm] ist die komplexe Multiplikation gemeint und auf [mm] GL_2(\IR) [/mm] die Matrixmultiplikation
FRED
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Danke, das hatte ich auch vermutet, nur woran hast du das jetzt genau erkannt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Di 10.07.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke, das hatte ich auch vermutet, nur woran hast du das
> jetzt genau erkannt?
Weil beide Mengen bzgl. der Multiplikation eine Gruppe bilden, bzgl. der Addition jedoch nicht.
LG Felix
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Und das muss man dann einfach wissen, oder zunächst überprüfen?
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> Und das muss man dann einfach wissen, oder zunächst
> überprüfen?
Beides.
Nachdem man ein paar entsprechende Aufgaben gemacht hat weiß man es meist, wenn man es nicht weiß muss man es eben zeigen.
In [mm] $\IC$* [/mm] ist die 0 nicht enthalten. Da dies das neutrale Element der Addition ist, kann also nicht die Addition gemeint sein.
Dasselbe gilt für die $GL$, diese enthält (über jedem Körper) nicht die Nullmatrix, was das neutrale Element der Matrixaddition bildet.
Somit kann auch hier nicht die Addition gemeint sein.
Wie gesagt weiß man sowas normalerweise nach ein wenig Erfahrung.
Sollte es mal nicht klar sein so kann man es meist wie hier leicht zeigen; ist es schwerer, so wird es angegeben oder es ist (in seltenen Fällen) als Teil der Aufgabe gedacht dies herauszufinden.
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Mi 11.07.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Danke!
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So, dann habe ich mich mal an die Lsg. gewagt:
sei [mm] z_1=a_1+ib_1 [/mm] und [mm] z_2=a_2+ib_2 [/mm] mit [mm] z_1, z_2 \in \IC
[/mm]
[mm] z_1*z_2=(a_1*a_2-b_1*b_2)+i(a_1*b_2+a_2*b_1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(z_1*z_2)=\phi((a_1*a_2-b_1*b_2)+i(a_1*b_2+a_2*b_1))
[/mm]
= [mm] \pmat{ (a_1*a_2-b_1*b_2) & -(a_1*b_2+a_2*b_1)
\\ (a_1*b_2+a_2*b_1)
& (a_1*a_2-b_1*b_2) }
[/mm]
dann [mm] \phi(z_1)=\pmat{ a_1 & -b_1 \\ b_1 & a_1 } [/mm] und [mm] \phi(z_2)=\pmat{ a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi(z_1)*\phi(z_2)=\pmat{ a_1 & -b_1 \\ b_1 & a_1 }*\pmat{ a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 }= \pmat{ (a_1*a_2-b_1*b_2) & -(a_1*b_2+a_2*b_1)
\\ (a_1*b_2+a_2*b_1)
& (a_1*a_2-b_1*b_2) }=\phi(z_1*z_2)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \phi [/mm] ist Grp.homo.
Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mi 11.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> So, dann habe ich mich mal an die Lsg. gewagt:
>
> sei [mm]z_1=a_1+ib_1[/mm] und [mm]z_2=a_2+ib_2[/mm] mit [mm]z_1, z_2 \in \IC[/mm]
>
> [mm]z_1*z_2=(a_1*a_2-b_1*b_2)+i(a_1*b_2+a_2*b_1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi(z_1*z_2)=\phi((a_1*a_2-b_1*b_2)+i(a_1*b_2+a_2*b_1))[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ (a_1*a_2-b_1*b_2) & -(a_1*b_2+a_2*b_1)
\\ (a_1*b_2+a_2*b_1)
& (a_1*a_2-b_1*b_2) }[/mm]
>
> dann [mm]\phi(z_1)=\pmat{ a_1 & -b_1 \\ b_1 & a_1 }[/mm] und
> [mm]\phi(z_2)=\pmat{ a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi(z_1)*\phi(z_2)=\pmat{ a_1 & -b_1 \\ b_1 & a_1 }*\pmat{ a_2 & -b_2 \\ b_2 & a_2 }= \pmat{ (a_1*a_2-b_1*b_2) & -(a_1*b_2+a_2*b_1)
\\ (a_1*b_2+a_2*b_1)
& (a_1*a_2-b_1*b_2) }=\phi(z_1*z_2)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \phi[/mm] ist Grp.homo.
>
> Richtig?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Mi 11.07.2012 | | Autor: | Big_Head78 |
Und noch einmal vielen Dank!
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