Größtes Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben:
[mm] f(x)=\bruch{5}{6}x^{3}-\bruch{10}{3}x^{2}+3x
[/mm]
Tangente: [mm] t(x)=-\bruch{1}{3}x
[/mm]
Bestimme unter allen Dreiecken, die innerhalb der Fläche, die die Tangente mit dem Graphen von f einschließt liegen, dasjenige mit dem größten Flächeninhalt. |
Hallo,
ich habe diese Frage (oder eine ähnliche) bereits vor einigen Wochen mal gestellt. Ich bin mir im Nachhinein nicht sicher, ob der Ansatz damals korrekt war.
Damals wurde gesagt: Differenzfunktion bilden. Der Flächeninhalt berechnet sich aus [mm] \bruch{1}{2}*'Grundseite'*'Hoehe'. [/mm] Dabei sollte ich für die Grundseite x setzen und die Höhe= f(x).
Ich glaube nicht, dass das stimmt, weil die Grundseite ja eine Strecke ist und für die Strecke kann man doch keinen Funktionswert, also f(x) angeben, oder?
Ich habe zwar die Lösungen bereits vor mir liegen; das Ergebnis ist für mich aber nicht plausibel. Der vorgegebene Lösungsweg ist, dass eine Lotgerade durch den Punkt [mm] (x_{0}|f(x_{0})) [/mm] auf die Tangente gebildet wird. Dann wird der Schnittpunkt berechnet und als endgültiges Ergebnis steht in der Lösung:
[mm] -10x=\bruch{5}{2}x_{0}^{3}-10x_{0}^{2}
[/mm]
Was sagt mir das jetzt und welches Dreieck kann ich daraus bilden?
Viele Dank!
Gruß,
Patrick
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Di 27.03.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Patrick!
> Gegeben:
> [mm]f(x)=\bruch{5}{6}x^{3}-\bruch{10}{3}x^{2}+3x[/mm]
>
> Tangente: [mm]t(x)=-\bruch{1}{3}x[/mm]
>
> Bestimme unter allen Dreiecken, die innerhalb der Fläche,
> die die Tangente mit dem Graphen von f einschließt liegen,
> dasjenige mit dem größten Flächeninhalt.
> Hallo,
>
> ich habe diese Frage (oder eine ähnliche) bereits vor
> einigen Wochen mal gestellt. Ich bin mir im Nachhinein
> nicht sicher, ob der Ansatz damals korrekt war.
>
> Damals wurde gesagt: Differenzfunktion bilden. Der
> Flächeninhalt berechnet sich aus
> [mm]\bruch{1}{2}*'Grundseite'*'Hoehe'.[/mm] Dabei sollte ich für die
> Grundseite x setzen und die Höhe= f(x).
Jetzt verhedderst du dich in der Nomenklatur, dieses x und dieses f sind nicht die aus der Aufgabenstellung.
> Ich glaube nicht, dass das stimmt, weil die Grundseite ja
> eine Strecke ist und für die Strecke kann man doch keinen
> Funktionswert, also f(x) angeben, oder?
>
> Ich habe zwar die Lösungen bereits vor mir liegen; das
> Ergebnis ist für mich aber nicht plausibel. Der vorgegebene
> Lösungsweg ist, dass eine Lotgerade durch den Punkt
> [mm](x_{0}|f(x_{0}))[/mm] auf die Tangente gebildet wird. Dann wird
> der Schnittpunkt berechnet und als endgültiges Ergebnis
> steht in der Lösung:
>
> [mm]-10x=\bruch{5}{2}x_{0}^{3}-10x_{0}^{2}[/mm]
Diese Formel verstehe ich im Moment noch nicht!
Ich würde mir eine Zeichnung machen (zur Klärung der Lage) und dann den Punkt auf f suchen, in dem die Tangente an f ebenfalls die Steigung -(1/3) hat. Hinweis: Das ist bei x = 2/3. Das liefert die Spitze des gesuchten Dreiecks.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für die schnelle Antwort. Die zweite Tangente habe ich gefunden, die Spitze des Dreiecks liegt dann als - wie du bereits gesagt hast - im Punkt [mm] (\bruch{2}{3}|\bruch{62}{81}). [/mm]
In meiner Lösung steht, dass die anderen beiden Punkte des Dreiecks (0|0) und [mm] (2|-\bruch{2}{3}) [/mm] sind. Zumindest die angeben des letzteren Punktes kann aber nicht stimmen denke ich, wenn ich mir die Graphen ansehe.
Die Höhe des Dreiecks ist ja dann der Abstand der Spitze des Dreiecks zur ersten (gegebenen) Tangente.
Der zweite Eckpunkt wird der Punkt (0|0) sein denke ich. Wie komme ich nun auf den 3.? Muss ich da mit Pythagoras herangehen? Irgendwie komme ich da nicht drauf....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Di 27.03.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> danke für die schnelle Antwort. Die zweite Tangente habe
> ich gefunden, die Spitze des Dreiecks liegt dann als - wie
> du bereits gesagt hast - im Punkt
> [mm](\bruch{2}{3}|\bruch{62}{81}).[/mm]
Einer von uns beiden hat sich hier beim y-Wert verrechnet ...
> In meiner Lösung steht, dass die anderen beiden Punkte des
> Dreiecks (0|0) und [mm](2|-\bruch{2}{3})[/mm] sind. Zumindest die
> angeben des letzteren Punktes kann aber nicht stimmen denke
> ich, wenn ich mir die Graphen ansehe.
Ich denke und bin mir ziemlich sicher, daß die stimmen!
> Die Höhe des Dreiecks ist ja dann der Abstand der Spitze
> des Dreiecks zur ersten (gegebenen) Tangente.
Ebend, aber der Punkt muß noch mal berechnet werden ..
> Der zweite Eckpunkt wird der Punkt (0|0) sein denke ich.
> Wie komme ich nun auf den 3.? Muss ich da mit Pythagoras
> herangehen? Irgendwie komme ich da nicht drauf....
Hat sich erledigt ...
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
Auf welchen Punkt kommst du denn? Ich habe es jetzt schriftlich und mit Derive berechnet und ich komme auf [mm] f(\bruch{2}{3})=\bruch{62}{81}
[/mm]
Und wenn dieser zweite Punkt [mm] (2|-\bruch{2}{3}) [/mm] stimmt, dann ist das Dreieck doch extrem flach. Ansonsten schneidet die Dreiecksseite den Graphen von f. Auf jeden Fall ist es nicht möglich, eine Strecke von [mm] P(\bruch{2}{3}|\bruch{62}{81}) [/mm] zu [mm] Q(2|-\bruch{2}{3}) [/mm] zu erstellen, die den Graphen von f nicht schneidet.
Wenn doch wäre es nett, wenn du mir verrätst wie das geht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Di 27.03.2007 | | Autor: | statler |
> Auf welchen Punkt kommst du denn? Ich habe es jetzt
> schriftlich und mit Derive berechnet und ich komme auf
> [mm]f(\bruch{2}{3})=\bruch{62}{81}[/mm]
Ja, ich bin die Nase, man müßte Bruchrechnen können!
> Und wenn dieser zweite Punkt [mm](2|-\bruch{2}{3})[/mm] stimmt, dann
> ist das Dreieck doch extrem flach. Ansonsten schneidet die
> Dreiecksseite den Graphen von f. Auf jeden Fall ist es
> nicht möglich, eine Strecke von
> [mm]P(\bruch{2}{3}|\bruch{62}{81})[/mm] zu [mm]Q(2|-\bruch{2}{3})[/mm] zu
> erstellen, die den Graphen von f nicht schneidet.
Das habe ich in meiner briefmarkengroßen Zeichnung übersehen, noch mal Nase! Aber wenn wir die Aufgabe so auffassen, was man wohl müßte, dann wird es kompliziert. Dann brauchst du ja eine Tangente von der Spitze an die Kurve, die die gegebene Tang. schneidet und dann eine kürzere Grundseite ergibt und folglich eine andere Dreiecksfläche. Das nachzurechnen (also dann das Max. zu bestimmen) schaffe ich heute nicht mehr, ich bin bald offline, evtl. morgen oder jd. anders.
Ciao
Dieter
|
|
|
| |
|
Okay, aber trotzdem danke für die Antworten! Ich werd das mit der Tangente nun mal versuchen...vielleicht komme ich ja auf die Lösung!
Wenn ich aber nichts weiter hier reinschreibe, dann hab ich es wohl nicht geschafft!
|
|
|
| |
|
Also ich habe gerade vergeblich versucht, den Status meiner Frage auf beantwortet zu ändern. Ich habe es inzwischen geschafft, sie zu lösen!
Vielen Dank für die Hilfe und insbesondere den letzten Ansatz!
Viele Grüße,
Patrick
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich sitze gerade an der gleichen Aufgabe. Könntest du mir evtl. den dritten Punkt sagen, den du herausbekommen hast?
Ich hatte auch vor, das mit der Tangente an den Graphen zu machen, allerdings war ich mir nicht sicher, ob der zweite Punkt dann trotzdem stimmt.
Liebe Grüße,
Janina
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:13 Di 10.04.2007 | | Autor: | statler |
Guten Tag Janina!
In Ermangelung eines Zeichenprogramms kläre ich erst meine Nomenklatur. Der Graph von f(x) hat ein
Maximum bei M = (0,5732|0,7813)
und ein
Minimum bei T = (2,0935|-0,6826).
Der Wendepunkt liegt bei WP = (4/3|4/81).
t berührt f in B = (2|-2/3), dort hat f die Steigung 1/3.
Der 2. Punkt von f mit Steigung 1/3 ist S = (2/3|62/81).
Das Dreieck 0SB hat die Fläche 0,9877, liegt aber leider nicht in der vorgegebenen Fläche, wie bereits festgestellt wurde.
Jetzt sei P = [mm] (x_{P}|y_{P} [/mm] = [mm] f(x_{P}) [/mm] ein Punkt auf dem Graphen von f, den wir uns am besten zwischen B und WP gelegen vorstellen. Wir lassen B sozusagen auf der Kurve in Richtung WP wandern und nehmen die Tangente mit, sie dreht sich dabei im Uhrzeigersinn.
Die Tangente in P hat einen weiteren Schnittpunkt mit f in
Q = (4 [mm] 2x_{P}|(4 [/mm] [mm] 2x_{P})(\bruch{10}{3}*x_{P}^{2} [/mm] - [mm] \bruch{20}{3}*x_{P} [/mm] + 3))
Wenn ich das Lot von Q auf 0B = t fälle, erhalte ich den Höhenfußpunkt
H = [mm] (2x_{P}(2-x_{P})^{2}|- \bruch{2}{3}(x_{P}(2-x_{P})^{2}))
[/mm]
So weit, so gut.
Jetzt bräuchte ich noch den Schnittpunkt R der Geraden durch P und Q mit t (in Abhängigkeit von [mm] x_{P}). [/mm] Dann könnte ich aus den Längen von OR und HQ die Dreiecksfläche (auch in Abhängigkeit von [mm] x_{P}) [/mm] berechnen. Das ist kein Hexenwerk, führt aber doch zu papierfüllenden Formeln. Und dann müßte ich als Krönung der ganzen Angelegenheit mittels der 1. Ableitung das Maximum der Fläche bestimmen. Bis zur 1. Ableitung sollte das mit Schulmitteln machbar sein, von eventuell auftauchenden Wurzeln könnte ich mich durch Quadrieren befreien, da im zu untersuchenden Bereich die Flächenfunktion positiv ist. Die Nullstelle der Ableitung müßte man wahrscheinlich mit Näherungsverfahren suchen (z. B. Newton-Verfahren).
Diesen letzten Absatz auszuführen habe ich mir wg. Ostern geschenkt, stattdessen habe ich explizit die Fläche berechnet für Q = S. In dem Fall ist P = (5/3|-65/162) und R = (50/27|-50/81), die Fläche des Dreiecks OQR ergibt sich zu [mm] \bruch{2000}{3^{7}} [/mm] = 0,9145.
Dann habe ich mit Excel weitergemacht (![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang) und festgestellt, daß sich für [mm] x_{P} [/mm] = 1,6814 die Fläche zu 0,915857013 ergibt, und das ist größer! Der Zuwachs in der Grundseite bringt also für die Fläche mehr als der Verlust an Höhe.
Werte für [mm] x_{P}, [/mm] die kleiner als 5/3 sind, brauche ich nicht zu untersuchen, da dann sowohl Grundseite als auch Höhe abnehmen.
Vielleicht kann das jemand anders mit einem geeigneten Programm visualisieren, möglichst konsistent beschriften und uns das Ergebnis zur Verfügung stellen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo Dieter!
Vielen vielen Dank für deine ausführliche Antwort!!!! Das hat mir sehr weitergeholfen.
Danke für deine Mühe!
liebe Grüße, Janina
|
|
|
|
