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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 So 07.04.2013 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | | [mm] $\ggT(ca,cb)=c*\ggT(a,b)$ [/mm] gilt in faktoriellen Ringen [mm] $R\,.$ [/mm] |
Hallo,
obige Gleichung soll sich, laut Müller-Stach und Piontkowski - "elementar"
beweisen lassen. Das bedeutet für mich, dass ich einen Beweis suche,
der nicht den eukl. Algorithmus verwendet, aber meinetwegen
Primfaktorzerlegung verwenden darf.
Mir ist klar, dass mit [mm] $g:=\ggT(a,b)$ [/mm] und [mm] $t:=\ggT(ca,cb)$ [/mm] sicher
[mm] $(cg)|(ca)\,$ [/mm] und [mm] $(cg)|(cb)\,$
[/mm]
gelten und daher [mm] $(cg)|t\,$ [/mm] folgt. Nun kann man zwei Ansätze verfolgen:
1. Ist $r [mm] \in [/mm] R$ mit [mm] $r|(ca)\,$ [/mm] und [mm] $r|(cb)\,,$ [/mm] so folgt [mm] $r|(cg)\,.$
[/mm]
2. Man zeigt [mm] $t|(cg)\,,$ [/mm] denn daraus folgt dann [mm] $t=cg\,.$
[/mm]
Ich sehe bei beiden Möglichkeiten hier nicht, wie man das "schnell" in
faktoriellen Ringen herleiten kann. Kann mir jemand die Idee/den Ansatz
dazu liefern? Braucht man hierbei das "faktoriell" beim Ring? Oder würde
der Beweis auch in Integritätsbereichen funktionieren? (Ich glaube, in
allg. Integritätsbereichen hat man nicht stets die Existenz des [mm] $\ggT$
[/mm]
gegeben - wenn das so stimmt, dann wäre die Frage unter der
Zusatzannahme der Existenz des [mm] $\ggT$ [/mm] für die betrachteten Elemente
zu verstehen - ich will also eigentlich wissen: Benutzt man beim Beweis
der obigen Gleichheit auch die Eigenschaft von [mm] $R\,,$ [/mm] faktoriell zu sein -
ohne Beachtung von Existenzfragen, für die man vielleicht das "faktoriell"
braucht!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 So 07.04.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Die elementarste Weise ich ich kenne läuft mittels Primfaktorzerlegung. Falls [mm] $n=\varepsilon p_1^{r_1}*\ldots [/mm] * [mm] p_k^{r_k}$ [/mm] und [mm] $m=\varepsilon' p_1^{s_1}*\ldots [/mm] * [mm] p_k^{s_k}$, [/mm] dann ist [mm] $\text{ggt}(n,m)=p_1^{\text{min}(r_1, s_1)}*\ldots [/mm] * [mm] p_k^{\text{min}(r_k, s_k)}$ [/mm] (was du vielleicht noch zeigen müsstest). Damit kann man unter anderem die von die gewünschte Gleichheit leicht folgern. Und auch solche Sachen wie ggt(n,m)*kgv(n,m)=nm.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 07.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Teufel,
> Hi!
>
> Die elementarste Weise ich ich kenne läuft mittels
> Primfaktorzerlegung.
das finde ich schonmal super! 
> Falls [mm]n=\varepsilon p_1^{r_1}*\ldots * p_k^{r_k}[/mm]
> und [mm]m=\varepsilon' p_1^{s_1}*\ldots * p_k^{s_k}[/mm], dann ist
> [mm]\text{ggt}(n,m)=p_1^{\text{min}(r_1, s_1)}*\ldots * p_k^{\text{min}(r_k, s_k)}[/mm]
> (was du vielleicht noch zeigen müsstest).
Ja, das werde ich auf jeden Fall später dafür noch zeigen.
> Damit kann man
> unter anderem die von die gewünschte Gleichheit leicht
> folgern. Und auch solche Sachen wie ggt(n,m)*kgv(n,m)=nm.
Dankesehr! Ich find's nur gerade merkwürdig, was die Autoren da, mit
dem bis zur Stelle im Buch bereitgestellten Wissen, da als "elementar"
verstehen ^^
Nebenbei: Hier
![[]](/images/popup.gif) klick!
habe ich noch einen Beweis gefunden, der mir dann doch irgendwie
elementar erscheint. (Seite 131)
Ich verstehe dort aber den Ansatz der Gleichung [mm] $(\*)$ [/mm] nicht - siehst Du,
oder sonst jemand, wie das aus den vorangegangenen Überlegungen
folgt?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 07.04.2013 | | Autor: | Teufel |
Es wurde ja davor $cd|w$ gezeigt. Das heißt ja per Definition nur, dass ein [mm] $f\in [/mm] R$ existiert mit $f(cd)=w$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 So 07.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Teufel,
> Es wurde ja davor [mm]cd|w[/mm] gezeigt. Das heißt ja per
> Definition nur, dass ein [mm]f\in R[/mm] existiert mit [mm]f(cd)=w[/mm].
ach - klar. Und ich dachte an irgendwas "komplizierteres". Aber stimmt, das
ist dann ja trivial ^^
Danke!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 So 07.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ach, der Beweis, den ich bei der Frage an Teufel verlinkt habe, ist nun doch
so schön elementar, dass ich ihn hier einfach zusammenschreibe, so dass
ggf. jemand mal drauf verweisen kann (o.E. nehmen wir im Folgenden $c [mm] \not=0$
[/mm]
an):
Seien [mm] $g:=\ggT(a,b)$ [/mm] und [mm] $t:=\ggT(ca,cb)\,.$ [/mm] Da $cg | [mm] ca\,$ [/mm] und $cg | [mm] cb\,$ [/mm] gelten,
folgt nach Definition von [mm] $t\,$ [/mm] auch $cg | [mm] t\,,$ [/mm] also existiert ein $f [mm] \in [/mm] R$ mit
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;t=(cg)f=c\,(gf)\,.$$
[/mm]
Wir zeigen nun [mm] $(gf)|g\,,$ [/mm] denn dann folgt aus [mm] $(\*)$ [/mm] schon [mm] $t|cg\,$:
[/mm]
Nach Definition von [mm] $t\,$ [/mm] gilt [mm] $t|ca\,$ [/mm] und [mm] $t|cb\,,$ [/mm] also gibt es $r,s [mm] \in [/mm] R$ mit
$$ca=tr [mm] \text{ und }cb=ts\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $(\*)$ [/mm] folgt
[mm] $$c\;(a-gfr)=0=c\;(b-gfs)\,,$$
[/mm]
und wegen $c [mm] \not=0$ [/mm] und da [mm] $R\,$ [/mm] Integritätsring ist
[mm] $$a=(gf)\,r \text{ und }b=(gf)\,s\,.$$
[/mm]
Somit erkennen wir [mm] $(gf)|a\,$ [/mm] und [mm] $(gf)|b\,,$ [/mm] nach Definition von [mm] $g\,$ [/mm] also [mm] $(gf)|g\,.$
[/mm]
Dies schließt den Beweis ab! [mm] $\Box$
[/mm]
Bemerkungen: Was ist das Schöne an diesem Beweis?
1. Wir brauchen (sofern wir uns nicht um Existenzfragen kümmern!) hier
weder den Euklidischen Algorithmus, noch Primfaktorzerlegungskenntnisse!
2. Wir benutzen nur die Definition des [mm] $\ggT,$ [/mm] und Wissen, das uns in einem
Integritätsbereich (und zwar per Definitionem dieses Begriffes) zur
Verfügung steht.
Deswegen finde ich diesen, wenn man ihn denn dann sieht: doch wirklich
sehr einfachen Beweis, einerseits sowohl absolut elementar, als auch
andererseits sehr elegant!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:51 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Teufel |
Jo, der Beweis ist allgemeiner und auch noch elementar. Sehr schön. Wobei du bei der Zusammenfassung noch erwähnen solltest, worauf du überhaupt hinaus willst, nämlich $cg|t, t|cg [mm] \gdw [/mm] t [mm] \sim [/mm] cg$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:59 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Teufel,
> Jo, der Beweis ist allgemeiner und auch noch elementar.
> Sehr schön. Wobei du bei der Zusammenfassung noch
> erwähnen solltest, worauf du überhaupt hinaus willst,
> nämlich [mm]cg|t, t|cg \gdw t \sim cg[/mm].
genau - ich habe das nicht mehr extra erwähnt, weil der [mm] $\ggT$ [/mm] eh nur bis
auf Assoziiertheit eindeutig ist (ich denke, Du meinst mit $t [mm] \sim cg\,,$ [/mm] dass
[mm] $t\,$ [/mm] und cg$ assoziiert sind)!
Erwähnenswert ist das auf jeden Fall.
Aber auch erwähnen sollte ich: Ich habe den Beweis nicht gefunden,
sondern nun das aus dem Buch gesagte verstanden, und dann nochmal
selbst zusammengebastelt.
Nebenbei: Ich muss das mit der Assoziiertheit auch gar nicht wirklich
erwähnen - ich kann es erwähnen.
Denn man kann sich doch auch folgendes überlegen: Man will ja zeigen,
dass [mm] $cg\,$ [/mm] die [mm] $\ggT$-Eigenschaften [/mm] erfüllt:
[mm] $cg|ca\,$ [/mm] und [mm] $cg|cb\,$ [/mm] sind klar. Zu zeigen bleibt dann noch: Ist $d [mm] \in [/mm] R$
mit [mm] $d|ca\,$ [/mm] und [mm] $d|cb\,,$ [/mm] so folgt [mm] $d|cg\,.$
[/mm]
Sei also $d [mm] \in [/mm] R$ mit [mm] $d|ca\,$ [/mm] und [mm] $d|cb\,.$ [/mm] Nach Definition von [mm] $t\,$ [/mm] folgt dann
[mm] $d|t\,.$ [/mm] Bewiesen wurde $t | [mm] cg\,,$ [/mm] also folgt aus [mm] $d|t\,$ [/mm] und dem Bewiesenen dann
[mm] $d|cg\,.$ [/mm] Also erfüllt [mm] $cg\,$ [/mm] "die [mm] $\ggT$-Eigenschaften" [/mm] von [mm] $\ggT(ca,cb)\,.$
[/mm]
Das war eigentlich meine Überlegung, die ich angestellt hatte, bevor ich
mir was mit Assoziiertheit überlegt hatte!
Gruß,
Marcel
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