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| Aufgabe | Für beliebige Matrizen A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] sei H(A) := [mm] \bruch{1}{2}(A+A^{T})
[/mm]
i) Zeigen Sie, dass die Matrix [mm] H(A)^2-H(A^2) [/mm] positiv semidefinit ist.
ii) Folgern Sie aus i), dass [mm] \lambda_{max}(H(A)^2) \ge \lambda_{max}(H(A^2)) [/mm] |
Hallo Matheraum,
die i) habe ich nachgewiesen und die ii) habe ich auch fast, es fehlt mir nur der letzte Schritt:
aus i) folgt:
$ [mm] x^{T}(H(A)^2-H(A^2))x \ge [/mm] 0 $
$ [mm] x^{T}(H(A)^2)x [/mm] - [mm] x^{T}(H(A^2))x \ge [/mm] 0 $
$ [mm] x^{T}(H(A)^2)x \ge x^{T}(H(A^2))x [/mm] $
$ [mm] \bruch{x^{T}(H(A)^2)x}{x^{T}x} \ge \bruch{x^{T}(H(A^2))x}{x^{T}x} [/mm] $
Jetzt hat mir jmd gesagt, der nächste Schritt würde wie folgt lauten:
$ [mm] max_{x \not= 0} \bruch{x^{T}(H(A)^2)x}{x^{T}x} [/mm] = [mm] \lambda_{max} \ge \lambda_{max} [/mm] = [mm] max_{x \not= 0}\bruch{x^{T}(H(A^2))x}{x^{T}x} [/mm] $
Was ich hier nicht verstehe ist: der Vektor, der die linke Seite maximiert muss doch nicht zwangsläufig der Gleiche sein, der die rechte Seite maximiert, oder irre ich mich da?
Denn am Anfang habe ich ja nur ein [mm] x^{T} [/mm] bzw x und das muss am Schluss ja immernoch das selbe sein...
Ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Di 06.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für beliebige Matrizen A [mm]\in \IR^{n,n}[/mm] sei H(A) :=
> [mm]\bruch{1}{2}(A+A^{T})[/mm]
> i) Zeigen Sie, dass die Matrix [mm]H(A)^2-H(A^2)[/mm] positiv
> semidefinit ist.
> ii) Folgern Sie aus i), dass [mm]\lambda_{max}(H(A)^2) \ge \lambda_{max}(H(A^2))[/mm]
>
> Hallo Matheraum,
>
> die i) habe ich nachgewiesen und die ii) habe ich auch
> fast, es fehlt mir nur der letzte Schritt:
>
> aus i) folgt:
>
> [mm]x^{T}(H(A)^2-H(A^2))x \ge 0[/mm]
> [mm]x^{T}(H(A)^2)x - x^{T}(H(A^2))x \ge 0[/mm]
>
> [mm]x^{T}(H(A)^2)x \ge x^{T}(H(A^2))x[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^{T}(H(A)^2)x}{x^{T}x} \ge \bruch{x^{T}(H(A^2))x}{x^{T}x}[/mm]
>
> Jetzt hat mir jmd gesagt, der nächste Schritt würde wie
> folgt lauten:
>
> [mm]max_{x \not= 0} \bruch{x^{T}(H(A)^2)x}{x^{T}x} = \lambda_{max} \ge \lambda_{max} = max_{x \not= 0}\bruch{x^{T}(H(A^2))x}{x^{T}x}[/mm]
>
> Was ich hier nicht verstehe ist: der Vektor, der die linke
> Seite maximiert muss doch nicht zwangsläufig der Gleiche
> sein, der die rechte Seite maximiert, oder irre ich mich
> da?
Richtig. Deswegen musst du einen Schritt mehr machen. Nehmen wir an, dass [mm] $x_1$ [/mm] die linke Seite maximiert, und [mm] $x_2$ [/mm] die rechte Seite.
Da [mm] $x_1$ [/mm] die linke Seite maximiert, gilt
[mm] \lambda_{\textrm{max}}(H(A)^2) = \bruch{x_1^{T}(H(A)^2)x_1}{x_1^{T}x_1} \ge \bruch{x_2^{T}(H(A)^2)x_2}{x_2^{T}x_2} [/mm] ,
und das ist mit der bereits gezeigten Ungleichung
[mm] \ge \bruch{x_2^{T}(H(A^2))x_2}{x_2^{T}x_2} = \lambda_{\textrm{max}}(H(A^2)) [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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