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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:04 So 20.11.2016 | | Autor: | astol |
| Aufgabe | Auf der Menge [mm] A=\{(\{0\}\times\IN)\cup(\IN\times\IZ)\} [/mm] werde eine Addition [mm] \oplus [/mm] durch
[mm] (m,n)\oplus(k,l):=(m+k,n+l) [/mm] und eine Relation [mm] <\* [/mm] durch
[mm] (m,n)<\*(k,l) :\gdw [/mm] m<k [mm] \vee [/mm] (m=k [mm] \wedge [/mm] n<l) definiert.
Zeigen Sie, dass der Größenbereich [mm] (A,\oplus,<\*) [/mm] weder divisibel noch kommensurabel ist. |
Hallo zusammen, ich habe schon gezeigt, dass [mm] G:=(A,\oplus,<\*) [/mm] auch wirklich ein Größenbereich ist - Das war kein Problem! Aber jetzt ...
Divisibel: D.h. es muss zu jeder Größe b [mm] \in [/mm] G und jeder natürlichen Zahl n [mm] \in \IN [/mm] eine Größe a [mm] \in [/mm] G geben, so dass n*a=b gilt.
Kommensurabel: D.h. zu beliebigen a,b [mm] \in [/mm] G gibt es stehts p,q [mm] \in \IN [/mm] mit p*a=q*b.
Meine Idee war die folgende, wenn ich ein Beispiel finde, wo a,b [mm] \in [/mm] G sind aber die Eigenschaften nicht erfüllt sind, kann ich daraus schließen dass G nicht divisibel und nicht kommensurabel ist. Richtig?
Ich habe folgende Idee:
Angenomme G ist divisibel, dann muss die Eigenschaft insbesondere für a=(0,0) und b(1,1) gelten. Aber aus n*(0,0)=(1,1) folgt, dass es kein solches n [mm] \in \IN [/mm] gibt und somit G nicht divisibel ist.
Angenomme G ist divisibel kommensurabel, dann muss die Eigenschaft insbesondere für a=(0,0) und b(1,1) gelten. Aber aus p*(0,0)=q*(1,1) folgt, q=0 aber q [mm] \in \IN [/mm] und [mm] 0\nin \IN [/mm] daraus wiederum folgt G nicht kommensurabel.
Kann ich das so machen?
Ich bin mir nur nicht ganz sicher ob a=(0,0) und b=(1,1) auch in G liegen, da wir von [mm] \IN=\{1,2,3,...\} [/mm] ausgehen.
Vielleicht könnt Ihr mir da weiter helfen?
Oder habt Ihr eine ganz andere Idee wie ich das zeigen kann? DANKE!
Euch allen noch ein schönes Wochenende. LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Di 22.11.2016 | | Autor: | meili |
Hallo astol,
> Auf der Menge [mm]A=\{(\{0\}\times\IN)\cup(\IN\times\IZ)\}[/mm]
> werde eine Addition [mm]\oplus[/mm] durch
> [mm](m,n)\oplus(k,l):=(m+k,n+l)[/mm] und eine Relation [mm]<\*[/mm] durch
> [mm](m,n)<\*(k,l) :\gdw[/mm] m<k [mm]\vee[/mm] (m=k [mm]\wedge[/mm] n<l) definiert.
>
> Zeigen Sie, dass der Größenbereich [mm](A,\oplus,<\*)[/mm] weder
> divisibel noch kommensurabel ist.
> Hallo zusammen, ich habe schon gezeigt, dass
> [mm]G:=(A,\oplus,<\*)[/mm] auch wirklich ein Größenbereich ist -
> Das war kein Problem! Aber jetzt ...
>
> Divisibel: D.h. es muss zu jeder Größe b [mm]\in[/mm] G und jeder
> natürlichen Zahl n [mm]\in \IN[/mm] eine Größe a [mm]\in[/mm] G geben, so
> dass n*a=b gilt.
Wie ist n*a definiert?
>
> Kommensurabel: D.h. zu beliebigen a,b [mm]\in[/mm] G gibt es stehts
> p,q [mm]\in \IN[/mm] mit p*a=q*b.
>
> Meine Idee war die folgende, wenn ich ein Beispiel finde,
> wo a,b [mm]\in[/mm] G sind aber die Eigenschaften nicht erfüllt
> sind, kann ich daraus schließen dass G nicht divisibel und
> nicht kommensurabel ist. Richtig?
>
> Ich habe folgende Idee:
>
> Angenomme G ist divisibel, dann muss die Eigenschaft
> insbesondere für a=(0,0) und b(1,1) gelten. Aber aus
> n*(0,0)=(1,1) folgt, dass es kein solches n [mm]\in \IN[/mm] gibt
> und somit G nicht divisibel ist.
>
> Angenomme G ist divisibel kommensurabel, dann muss die
> Eigenschaft insbesondere für a=(0,0) und b(1,1) gelten.
> Aber aus p*(0,0)=q*(1,1) folgt, q=0 aber q [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]0\nin \IN[/mm] daraus wiederum folgt G nicht kommensurabel.
>
> Kann ich das so machen?
>
> Ich bin mir nur nicht ganz sicher ob a=(0,0) und b=(1,1)
> auch in G liegen, da wir von [mm]\IN=\{1,2,3,...\}[/mm] ausgehen.
a liegt nicht in G, wenn [mm] $\IN$ [/mm] so definiert ist, da für die erste Null von a,
a [mm] $\in \{0\} \times \IN$ [/mm] sein müsste, aber es dann die zweite Null nicht gibt.
Für die zweite Null könnte a in [mm] $\IN \times \IZ$ [/mm] sein, aber es dann
keine erste Null gibt.
b liegt in G, da (1,1) [mm] $\in \IN \times \IZ$
[/mm]
>
> Vielleicht könnt Ihr mir da weiter helfen?
>
> Oder habt Ihr eine ganz andere Idee wie ich das zeigen
> kann? DANKE!
>
> Euch allen noch ein schönes Wochenende. LG
>
>
>
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 23.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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