Grösse eines Körpers < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Do 30.12.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Forum
Ich habe folgende Frage, die mich beschäftigt:
Sei $\ K $ ein Körper und $\ K[c]$ wie üblich die Ring der Polynome mit Koeffizienten in $\ K $ in welche c eingesetzt wurde. Wieso kann man folgendes sagen: Wenn $\ K[c] $ ein Körper ist, dann ist $\ K[c] = Q(K[c])$ dem Quotientenkörper. Wieso kann der Körper nicht grösser als der Quotientenkörper sein?
Ich danke euch für eure Antworten!
Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Do 30.12.2010 | | Autor: | andreas |
hallo.
der quotientenkörper [mm]Q(R)[/mm] eines integritätsbereichs [mm]R[/mm] ist (immer) der kleinste körper, der diesen integritätsbereich enthält. die universelle eigenschaft des quotientenkörpers gibt dir doch einen homomorphismus [mm]R \to Q(R)[/mm], welcher injektiv ist (falls [mm]R[/mm] ein integritätsbereich ist).
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Do 30.12.2010 | | Autor: | physicus |
Tut mir leid, aber wieso sollte dies daraus folgen? Ich kann einen Integritätsring $\ R $ in $\ Q(R) $ einbetten. Dies ist dieser injektive Ringhomo den es gibt. Die universelle Eigenschaft sagt mir doch: Wenn ich $\ R $ in einen Körper $\ K $ einbetten kann (inj. Ringhomo), dann enthält dieser Körper $\ K $ auch $\ Q(R) $. In diesem Sinne ist $\ Q(R) $ minimal.
Würdest du in diesem Setting einfach $\ K = R $ setzen, und als Einbettung $\ id $ nehmen, das ist ja dann ein Iso, also ist der eindeutige Homomorphismus von $\ Q(R) $ nach $\ K $ ebenfalls ein Iso, also $\ Q(R) $ ismorph zu $\ K=R$ ?
Kann man so argumentieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:41 Fr 31.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Tut mir leid, aber wieso sollte dies daraus folgen?
Wenn $R$ bereits ein Koerper ist, so ist $R [mm] \to [/mm] R$, $x [mm] \mapsto [/mm] x$ ein injektiver Ringhomomorphismus, und ist $R [mm] \to [/mm] K$ irgendein anderer injektiver Homomorphismus in einen Koerper $K$, so faktorisiert dieser natuerlich durch $R [mm] \to [/mm] R$. Damit erfuellt $R$ die universelle Eigenschaft und ist demnach der Quotientenkoerper von $R$.
> Ich
> kann einen Integritätsring [mm]\ R[/mm] in [mm]\ Q(R)[/mm] einbetten. Dies
> ist dieser injektive Ringhomo den es gibt. Die universelle
> Eigenschaft sagt mir doch: Wenn ich [mm]\ R[/mm] in einen Körper [mm]\ K[/mm]
> einbetten kann (inj. Ringhomo), dann enthält dieser
> Körper [mm]\ K[/mm] auch [mm]\ Q(R) [/mm].
Sozusagen ja. Du kannst ihn darin "kanonisch" einbetten.
> In diesem Sinne ist [mm]\ Q(R)[/mm]
> minimal.
> Würdest du in diesem Setting einfach [mm]\ K = R[/mm] setzen, und
> als Einbettung [mm]\ id[/mm] nehmen, das ist ja dann ein Iso, also
> ist der eindeutige Homomorphismus von [mm]\ Q(R)[/mm] nach [mm]\ K[/mm]
> ebenfalls ein Iso, also [mm]\ Q(R)[/mm] ismorph zu [mm]\ K=R[/mm] ?
> Kann man so argumentieren?
Ja. Ist genau das was ich oben auch geschrieben hab.
LG Felix
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