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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:52 Mi 21.11.2012 | | Autor: | tagg |
Hallo,
auch hier möchte ich lediglich eine kleine Verständnisfrage stellen:
Es geht um Gröbnerbasen. Nehmen wir an, wir haben durch den Buchberger-Algorithmus mit der Startbasis
[mm] f:=x^{2}y^{2}-x^{2}y+x, g=x^{2}y+y^{2}
[/mm]
als Input mit der Lexikografischen Termordnung die folgende Gröbnerbasis berechnet (laut Vorlesungsskript)
$ { f, g, [mm] x-y^{3}+y^{2}, y^{8}-2^{7}+y^{6}+y^{3}, y^{7}-2y^{6}+y^{5}+y^{2} [/mm] } $
Wenn wir uns jetzt die Leitterme ansehen, so folgt:
$ { [mm] x-y^{3}+y^{2}, y^{7}-2y^{6}+y^{5}+y^{2} [/mm] } $ ist eine reduzierte Basis.
Meine Frage:
Wieso ist das so? Das Vorlesungsskript geht ausführlich darauf ein, dass wenn für Gröbnerbasiselemente [mm] g_{i} [/mm] und [mm] g_{j} [/mm] mit [mm] g_{i}|g_{j} [/mm] gilt, dass man [mm] g_{j} [/mm] einfach weglassen kann (da dieses Element ja offenbar von [mm] g_{i} [/mm] erzeugt wird).
Warum aber reicht es für das Reduzieren meiner Gröbnerbasis (also das Weglassen von unnötigen Basiselementen) aus, dass ich mir lediglich die Leitterme anschaue?
Wenn das gilt, ist es ja klar: $ [mm] lt(x-y^{3}+y^{2})=x [/mm] $ erzeugt alles, was mit x zu tun hat und [mm] y^{7}-2y^{6}+y^{5}+y^{2} [/mm] ist das Polynom kleinsten Grades, das nur mit y zu tun hat, erzeugt also alles mit y.
Was ist aber mit den Nicht-Leittermen? Werden die dann auch von diesen lediglich zweien Basiselementen irgendwie erzeugt? Kann ich mir iwie nicht vorstellen...
Danke für eure Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 23.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 So 25.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> auch hier möchte ich lediglich eine kleine
> Verständnisfrage stellen:
>
> Es geht um Gröbnerbasen. Nehmen wir an, wir haben durch
> den Buchberger-Algorithmus mit der Startbasis
>
> [mm]f:=x^{2}y^{2}-x^{2}y+x, g=x^{2}y+y^{2}[/mm]
>
> als Input mit der Lexikografischen Termordnung die folgende
> Gröbnerbasis berechnet (laut Vorlesungsskript)
>
> [mm]{ f, g, x-y^{3}+y^{2}, y^{8}-2^{7}+y^{6}+y^{3}, y^{7}-2y^{6}+y^{5}+y^{2} }[/mm]
>
> Wenn wir uns jetzt die Leitterme ansehen, so folgt:
>
> [mm]{ x-y^{3}+y^{2}, y^{7}-2y^{6}+y^{5}+y^{2} }[/mm] ist eine
> reduzierte Basis.
>
> Meine Frage:
> Wieso ist das so? Das Vorlesungsskript geht ausführlich
> darauf ein, dass wenn für Gröbnerbasiselemente [mm]g_{i}[/mm] und
> [mm]g_{j}[/mm] mit [mm]g_{i}|g_{j}[/mm] gilt, dass man [mm]g_{j}[/mm] einfach
> weglassen kann (da dieses Element ja offenbar von [mm]g_{i}[/mm]
> erzeugt wird).
Jo, das ist klar. Bei Groebnerbasen ist es aber auch so, dass aus [mm] $LT(g_i) \mid LT(g_j)$ [/mm] schon folgt, dass man [mm] $g_j$ [/mm] weglassen kann.
> Warum aber reicht es für das Reduzieren meiner
> Gröbnerbasis (also das Weglassen von unnötigen
> Basiselementen) aus, dass ich mir lediglich die Leitterme
> anschaue?
Wenn du die Funktionsweise des Reduktionsalgorithmusses anschaust, und den auf [mm] $g_1, \dots, g_n$ [/mm] anwendest, dann kannst du zuerst [mm] $g_j$ [/mm] mit [mm] $g_i$ [/mm] reduzieren. Bei dem Rest, der bleibt, kannst du nie mit [mm] $g_j$ [/mm] selber reduzieren. Du hast also als Ergebnis [mm] $g_j [/mm] = [mm] \sum_{i=1 \atop i \neq j}^n f_i g_i$ [/mm] mit Polynomen [mm] $f_i \in [/mm] K[X]$, und [mm] $(g_1, \dots, g_n) [/mm] = [mm] (g_1, \dots, g_{j-1}, g_{j+1}, \dots, g_n)$. [/mm] Damit kannst du [mm] $g_j$ [/mm] weglassen.
LG Felix
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