Grenzwertverhalten < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Do 08.12.2011 | | Autor: | luna19 |
| Aufgabe | Untersuche das Grenzwertverhalten der Funktion
[mm] f(x)=(x^2-2x)/(x+1) [/mm] |
Hallo
Ich schreibe bald eine Mathearbeit über das Genzwertverhalten und ich bin mir total unsicher.Deswegen wäre es toll wenn jemand die Aufgabe kontrollieren und mir helfen kann. :)
Die Definitionslückel liegt bei -1
[mm] D=\IR\{-1\}
[/mm]
Der Definitionsbereich entspricht allen reelen Zahlen außer der -1
Dann müssen wir eine Tabelle anfertigen:
x -1000 -1,1 -1 -0,9 0 1000
y -1003 -34,1 x 26,1 0 997
Und anhand dieser Tabelle dann die Limesfunktionen aufstellen,aber
da komme ich nicht mehr weiter.
Danke !!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Do 08.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
an Hand deiner Tabelle siehst du, dass für große negative x f(x) sehr groß wird, es geht also für x gegen [mm] +\infty [/mm] f(x) gegen [mm] +˜\infty
[/mm]
bei x gegen [mm] -\infty [/mm] f(x) gegen [mm] -\infty.
[/mm]
dann bei 1 links von 1 hast du negative Werte, rechts püsitive,
das heisst x gegen 1^- f(x) gegen [mm] -\infty [/mm] rechts x gegen 1^+ f(x) gegen [mm] +\infty
[/mm]
du schreibst also [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty
[/mm]
[mm] \limes_{1 \leftarrow x} f(x)=-\infty
[/mm]
usw.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Fr 09.12.2011 | | Autor: | luna19 |
Hallo
das heisst x gegen 1^- f(x) gegen $ [mm] -\infty [/mm] $ rechts x gegen 1^+ f(x) gegen $ [mm] +\infty [/mm] $
du schreibst also $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)=+\infty [/mm] $
$ [mm] \limes_{1 \leftarrow x} f(x)=-\infty [/mm] $
usw.
Das verstehe ich nicht ganz und ich finde ,dass nicht unbedingt große Zahlen herauskommen,wenn [mm] {x\rightarrow\infty} [/mm] eingesetzt werden.
Danke
Ach ja,mir ist eingefallen,dass ich diese Definitionslücke beheben kann
[mm] f(x)=\bruch{x^{2}-2x}{x+1}
[/mm]
[mm] f(x)=\bruch{(x+1)*(x-1)}{x+1}
[/mm]
f(x)=(x-1)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Fr 09.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wenn bei x=1000 f(x) etwa 1000 ist und du das nicht groß findest, nimm eben yx=100000.
eine Gerade y=x geht doch auch für x gegen unendlich gegen unendlich!
Ausserdme für sehr große x spielt die 1 bei x+1 im Nenner keine Rolle mehr dann sieht deine fkt wie f(x)=x-2 aus für große x.
2. [mm] (x+1)*(x-1)=x^2-1 [/mm] und nicht [mm] x^2-2x
[/mm]
das solltest du auch an deiner Tabelle für z.B. x=0.1 sehen!
du hast also wirklich ne Definitionslücke für x gegen -1 musst du also zeigen wohin die fkt geht. klar ist, dass wenn der nenner fast 0 ist sie riesig wird, du musst also nur das Vorzeichen prüfen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Sa 10.12.2011 | | Autor: | luna19 |
Hallo :)
Okay ich habe das mit dem x gegen o verstanden,aber begreife nicht warum es eine Definitionslücke gibt.In diesem Zusammwenhang wollte ich auch fragen,warum es überhaupt hebbare Definitionslücken gibt und wann sie gelten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Sa 10.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei deiner Funktion haben Zähler und Nenner nicht dieselbe Nullstellen. deshalb kann man nicht durch den nenner kürzen.
Immer wenn der nenner eine Nst, (oder mehrere) hat ist da die funktion nicht definiert.
Wenn der Zähler dieselbe Nst. bei x=a hat kann man oft durch (x-a) kürzen.
dann hat man eine lücke die man aber stetig schliessen kann , indem man sagt f(a)=g(a) für x=a wobei g(a) die gekürzte funktion ist. Beispiel: [mm] f(x)=\bruch{{x^2-5x+6}(x-2}
[/mm]
bei x=2 nicht definiert, aber der Zähler ist (x-2)*(x-3)
hat also dieselbe Nullstelle , deshalb kann man überall, ausser bei x=2 die funktion durch g(x)=x-3 ersetzen und bei x=2 setz man f(2)=2-3=-1
Das kannst du bei deiner funktion nicht, da hat der zähler nicht dieselbe Nullstelle wie der Nenner. also geht die funktion bei der nullstelle des nenners [mm] gegen\infty [/mm] und man kann nicht stetig ergänzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Sa 10.12.2011 | | Autor: | luna19 |
Hallo
, ausser bei x=2 die funktion durch g(x)=x-3 ersetzen und bei x=2 setz man f(2)=2-3=-1
Das kannst du bei deiner funktion nicht, da hat der zähler nicht dieselbe Nullstelle wie der Nenner. also geht die funktion bei der nullstelle des nenners $ [mm] gegen\infty [/mm] $ und man kann nicht stetig ergänzen.
Ich verstehe das nicht, ich habe nur begriffen,dass die Definitionslücke behoben werden kann,indem ich Linearfaktoren mithilfe der Nullstellen bilde und sie dann wegkürze.
Der Term ,der übrig bleibt füllt die Lücke dann aus bzw ist dann die neue Funktion.Und in diese neue Funktion kann ich den x-Wert,welcher vorher nicht definiert war einsetzen und bekomme den y-Wert heraus.
Und was kann ich dann mit diesem y-Wert machen?Warum geht meine Funktion gegen unendlich?
Danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Sa 10.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
>
> , ausser bei x=2 die funktion durch g(x)=x-3 ersetzen und
> bei x=2 setz man f(2)=2-3=-1
> Das kannst du bei deiner funktion nicht, da hat der
> zähler nicht dieselbe Nullstelle wie der Nenner. also geht
> die funktion bei der nullstelle des nenners [mm]gegen\infty[/mm] und
> man kann nicht stetig ergänzen.
>
>
> Ich verstehe das nicht, ich habe nur begriffen,dass die
> Definitionslücke behoben werden kann,indem ich
> Linearfaktoren mithilfe der Nullstellen bilde und sie
> dann wegkürze.
Ja, aber das kannst du NUR wenn Zähler und Nenner den gleichen Linearfaktor haben. bei deiner funktion im ersten post also nicht.
> Der Term ,der übrig bleibt füllt die Lücke dann aus bzw
> ist dann die neue Funktion.Und in diese neue Funktion kann
> ich den x-Wert,welcher vorher nicht definiert war einsetzen
> und bekomme den y-Wert heraus.
richtig!
>
> Und was kann ich dann mit diesem y-Wert machen?
du schreibst bei meinem Beispiel: ergänzt man die Lücke bei x=3 (in meinem Beispiel durch f(x)=-1 dann ist die lücke behoben un die Funktion überall stetig
>Warum geht
> meine Funktion gegen unendlich?
Bei deiner funktion $ [mm] f(x)=\bruch{x^2-2x}{x+1}=\bruch{x*(x-2)}{x+1} [/mm] $
hat Zähler und Nenner KEINEN GEMEINSAMEN LINEARFAKTOR.
in der Nähe von x=0 ist der Zähler in der nähe von -1
der nenner wird winzig kleinje näher an 1 umso kleiner, der Zähler wird nich klein, also geht das ganze gegen + und [mm] -\infty
[/mm]
ausprobieren x=1.01 Nenner =0.01 Zähler 0.999 f(1.01)=99.9
x=0.99 Nenner -0.01 Zähler -0.9999
Ergebnis f(x)=99.99
jetzt rechne mal noch näher an 1 also 1.0001 und 0.9999
dann siehst du wie riesig die ergebnisse werden.
also nochmal: du musst unterscheiden, ob Z und N einen gemeinsamen Faktor haben, dann kürzen und du kannst die definitionslücke beheben.
wenn sie keinen gemeinsamen linearfaktor haben, also nicht dieselbe Nullstelle. geht es gegen unendlich.
gruss leduart
> Danke :)
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 So 11.12.2011 | | Autor: | luna19 |
Vielen dank !!!
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