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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Fr 22.02.2013 | | Autor: | lisa2802 |
| Aufgabe | Sei [mm] {x_{n}}, {y_{n}} \in \IR [/mm] und [mm] x_{n} [/mm] -> a, [mm] y_{n} [/mm] -> b
Beweisen Sie :
a) [mm] x_{n} \ge y_{n} [/mm] n [mm] \ge [/mm] N, N [mm] \in \IN [/mm] => [mm] a\ge [/mm] b
b) jede teilfolge [mm] x_{n}_{k} \subset x_{n} [/mm] konvergiert und es gilt [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x_{n}_{k} [/mm] =a |
a) [mm] x_{n} \ge y_{n}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] x_{n} [/mm] - [mm] y_{n} \ge [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm]
[mm] x_{n} [/mm] + (- [mm] y_{n}) \ge [/mm] 0
Mit [mm] x_{n}+y_{n} [/mm] -> a+b (für n-> [mm] \infty)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
a + (-b) [mm] \ge [/mm] 0
[mm] \gdw [/mm] a [mm] \ge [/mm] b
Geht das so?
b) [mm] x_{n} [/mm] beschränkt [mm] \Rightarrow x_{nk} [/mm] beschränkt
[mm] \Rightarrow x_{n}_{k} [/mm] hat Häufungspunkt, selben wie [mm] x_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Häufungspunkt = a, sonst [mm] x_{n} [/mm] zwei Häufungspunkte und das ist ein Widerspruch?
Aber wie schreibt man das formal korrekt auf?
Okay gibt noch mehr fragen :
C)Sei [mm] {x_{n}} [/mm] nullfolge und [mm] {y_{n}} [/mm] beschränkt, zeigen sie : [mm] {x_{n}* y_{n}} [/mm] konvergiert!
Das ist ja eigentlich vom Sinn her klar zb [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und sin(n)
Aber die frage ist jetzt [mm] y_{n} [/mm] hat ja einen maximalen Wert m, da die folge ja beschränkt ist
Also ist für
[mm] x_{n}* y_{n} \ge [/mm] 0 :
0 [mm] \le [/mm] 0 * [mm] y_{n} \le x_{n}* y_{n} \le x_{n}* [/mm] m und deswegen genügt es [mm] x_{n}*m [/mm] zu betrachten oder? Was ja wieder eine nullfolge ist oder?
Für [mm] x_{n} \ge [/mm] 0 [mm] y_{n} \le [/mm] 0 ( oder andersherum) dann wäre [mm] m\le x_{n}* y_{n} \le [/mm] 0 ?
D)
Es sei [mm] {x_{n}} \subset \IQ [/mm] eine beliebige rationale Cauchyfolge und a [mm] =[x_{n}] [/mm] die zugehörige reelle Zahl! Zeigen Sie: [mm] |a|=[|x_{n}|]
[/mm]
Ich versteh den Sinn der Aufgabe überhaupt nicht?
E)
Die reelle zahlenfolge [mm] {a_{n}} \subset \IR [/mm] habe die folgenden Eigenschaft: es existiert ein a [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < a < 1, so dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2 gilt
[mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| \le [/mm] a [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] a_{n-1}| [/mm]
Wenn ich jetzt als Bsp [mm] \bruch{1}{n} [/mm] nehme habe ich da zum schluss stehen : [mm] |\bruch{n-1}{n+1}| \le [/mm] a aber da bringt mir doch nix oder? Es ist korrekt aber keine ahnung! Das verwirrt mich nur noch mehr :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Fr 22.02.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo lisa2802!
Wir freuen uns hier immer über ein "Hallo" und ein paar nette Grüße. Außerdem ist es sinnvoll ALLE Aufgabenteil, bei denen du Probleme hast in die Aufgabenstellung zu schreiben oder gar verschiedene Themen zu eröffnen.
> Sei [mm]{x_{n}}, {y_{n}} \in \IR[/mm] und [mm]x_{n}[/mm] -> a, [mm]y_{n}[/mm] -> b
>
> Beweisen Sie :
>
> a) [mm]x_{n} \ge y_{n}[/mm] n [mm]\ge[/mm] N, N [mm]\in \IN[/mm] => [mm]a\ge[/mm] b
>
>
> b) jede teilfolge [mm]x_{n}_{k} \subset x_{n}[/mm] konvergiert und
> es gilt [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}x_{n}_{k}[/mm] =a
>
> a) [mm]x_{n} \ge y_{n}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]x_{n}[/mm] - [mm]y_{n} \ge[/mm] 0
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]x_{n}[/mm] + (- [mm]y_{n}) \ge[/mm] 0
>
> Mit [mm]x_{n}+y_{n}[/mm] -> a+b (für n-> [mm]\infty)[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
> a + (-b) [mm]\ge[/mm] 0
> [mm]\gdw[/mm] a [mm]\ge[/mm] b
> Geht das so?
Ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , wenn du noch das n>N irgendwo erwähnst.
> b) [mm]x_{n}[/mm] beschränkt [mm]\Rightarrow x_{nk}[/mm] beschränkt
>
> [mm]\Rightarrow x_{n}_{k}[/mm] hat Häufungspunkt, selben wie [mm]x_{n}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Häufungspunkt = a, sonst [mm]x_{n}[/mm] zwei
> Häufungspunkte und das ist ein Widerspruch?
> Aber wie schreibt man das formal korrekt auf?
Das weiß ich nicht, da ich nicht ganz verstehe was du meinst...
Benutze die Konvergenz von [mm]x_n[/mm]: Ab einem [mm]n>N\in\mathbb N[/mm] gilt
[mm]|x_n-a|<\varepsilon\quad\Leftrightarrow\quad |x_n-x_{n_k}+x_{n_k}-a|<\varepsilon\quad\Leftrightarrow\quad |x_n-x_{n_k}+x_{n_k}-a|<|x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|<\varepsilon[/mm]
Kannst du daraus folgern, dass [mm]|x_{n_k}-a|<\varepsilon[/mm]?
> Okay gibt noch mehr fragen :
>
> C)Sei [mm]{x_{n}}[/mm] nullfolge und [mm]{y_{n}}[/mm] beschränkt, zeigen sie
> : [mm]{x_{n}* y_{n}}[/mm] konvergiert!
> Das ist ja eigentlich vom Sinn her klar zb [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> und sin(n)
> Aber die frage ist jetzt [mm]y_{n}[/mm] hat ja einen maximalen Wert
> m, da die folge ja beschränkt ist
>
> Also ist für
> [mm]x_{n}* y_{n} \ge[/mm] 0 :
> 0 [mm]\le[/mm] 0 * [mm]y_{n} \le x_{n}* y_{n} \le x_{n}*[/mm] m und
> deswegen genügt es [mm]x_{n}*m[/mm] zu betrachten oder? Was ja
> wieder eine nullfolge ist oder?
>
> Für [mm]x_{n} \ge[/mm] 0 [mm]y_{n} \le[/mm] 0 ( oder andersherum) dann wäre
> [mm]m\le x_{n}* y_{n} \le[/mm] 0 ?
Nein, deine Ungleichungsketten sind nicht richtig.
Versuche [mm]|x_ny_n-0|<\varepsilon[/mm] zu zeigen.
Da [mm]x_n[/mm] Nullfolge ist, gilt ab einem n>N:
[mm]|x_n|<\varepsilon\quad\Leftrightarrow\quad|x_n|\cdot|y_n|<\varepsilon\cdot|y_n|[/mm] falls [mm]y_n\neq 0[/mm] für fast alle n.
Kannst du jetzt argumentieren, dass [mm]x_ny_n[/mm] gegen 0 konvergiert?
> D)
> Es sei [mm]{x_{n}} \subset \IQ[/mm] eine beliebige rationale
> Cauchyfolge und a [mm]=[x_{n}][/mm] die zugehörige reelle Zahl!
> Zeigen Sie: [mm]|a|=[|x_{n}|][/mm]
>
> Ich versteh den Sinn der Aufgabe überhaupt nicht?
Beispiel: Wenn die rationale Folge [mm]x_n[/mm] gegen die reelle Zahl [mm]-\sqrt 2[/mm] konvergiert, dann konvergiert [mm]|x_n|[/mm] gegen [mm]|-\sqrt 2|=\sqrt 2[/mm]
Hilft das schon?
> E)
> Die reelle zahlenfolge [mm]{a_{n}} \subset \IR[/mm] habe die
> folgenden Eigenschaft: es existiert ein a [mm]\in \IR[/mm] mit 0 < a
> < 1, so dass für alle n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2 gilt
> [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le[/mm] a [mm]|a_{n}[/mm] - [mm]a_{n-1}|[/mm]
> Wenn ich jetzt als Bsp [mm]\bruch{1}{n}[/mm] nehme habe ich da zum
> schluss stehen : [mm]|\bruch{n-1}{n+1}| \le[/mm] a aber da bringt
> mir doch nix oder? Es ist korrekt aber keine ahnung! Das
> verwirrt mich nur noch mehr :(
Was ist den die zu beweisende Aussage? Dass [mm] $a_n$ [/mm] konvergiert?
Lieben Gruß,
Fulla
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