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Hallo,
ich möchte für die folgende Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{5^n}{n^2} [/mm] das Grenzwertkriterium anwenden, um auf die Konvergenz zu schließen.
Grenzwertkriterium, damit meine ich: Teile ich meine Reihe durch eine Reihe, dessen Konvergenz mir bekannt ist und bekomme ich ein Ergebnis zwischen 0 und unendlich, so nimmt meine Reihe die Konvergenz der Vergleichsreihe an.
Aber mit der Vergleichsreihe [mm] 1/n^2 [/mm] komme ich nicht wirklich voran, denn dann bekomme ich am Ende: [mm] 5^n. [/mm] Geht zwar für unendlich gegen unendlich, aber da meine Vergleichsreihe konvergiert, die Reihe aber divergiert klappt das nicht.
Wieso?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Dieses "Grenzwertkriterium" kenne ich nicht und ist mir sehr suspekt ...
Aber überprüfe diese Reihe auf das notwendige Kriterium: Ist [mm] $\bruch{5^n}{n^2}$ [/mm] eine Nullfolge?
Ansonsten kommst Du hier auch mit Quotienten- oder Wurzelkriterium weiter.
Gruß
Loddar
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Stimmt, es ist keine Nullfolge, also divergiert sie.
Was ist damit
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{n^2+4}}?
[/mm]
Vermutlich sollte ich da mit dem Majoranten/Minoranenkriterium drangehen, aber da tu ich mir doch noch etwas schwer.
Denn ich könnte ja zb den Nenner größer, also die Reihe kleiner machen wenn ich statt 4 [mm] n^2 [/mm] nehme, aber es muss ja nicht sein, dass [mm] n^2 [/mm] immer größer als 1 ist.
Was würdet ihr machen?
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Hallo,
was wäre denn, wenn du die 4 einfach wegfallen lässt?
Dann steht ja da [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{n^2+4}}< \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{n^2}}[/mm] , die harmonische Reihe.
Und was macht die harmonische Reihe?
lg Kai
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Ah, das ist dann 1/n und das divergiert, also divergiert meine Reihe? denn [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] ist doch 1/n.
Aber dann müsste die Reihe doch kleiner sein für das Minorantenkriterium.
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Hallo,
> Ah, das ist dann 1/n und das divergiert, also divergiert
> meine Reihe? denn [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] ist doch 1/n.
>
> Aber dann müsste die Reihe doch kleiner sein für das
> Minorantenkriterium. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gut erkannt, die Abschätzung war nicht besonders hilfreich, eine divergente Majorante bringt dir nix.
Vergrößere den Nenne zu [mm] 2n^2, [/mm] dann hast du mit [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sum \frac{1}{n}$ [/mm] deine div. Minorante
LG
schachuzipus
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Aber [mm] \wurzel{n^2+n^2} [/mm] ist doch nicht zwanghaft größer als [mm] \wurzel{n^2+1} [/mm] oder?
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Hallo nochmal,
> Aber [mm]\wurzel{n^2+n^2}[/mm] ist doch nicht zwanghaft größer als
> [mm]\wurzel{n^2+1}[/mm] oder?
Für $n=1$ ist es gleich, ab $n=2$ ist es echt größer ...
Die Abschätzung müsste also streng genommen [mm] $\ge$ [/mm] sein 
Aber der eine Summand (auch endlich viele) spielen für das Konvergenz-/Divergenzverhalten ja keine Rolle.
Wenn's dir lieber ist, vergrößere auf [mm] 10n^2 [/mm] oder auf [mm] 100000n^2
[/mm]
LG
schachuzipus
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Hallo Kai,
> Hallo,
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> was wäre denn, wenn du die 4 einfach wegfallen lässt?
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> Dann steht ja da [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{n^2+4}}< \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{n^2}}[/mm]
> , die harmonische Reihe.
>
> Und was macht die harmonische Reihe?
Divergieren! Aber was nutzt das für dei Aufgabe?
Du hast eine divergente Majorante gefunden, das ist nicht hilfreich
Besser den Nenner vergrößern zu [mm] 2n^2, [/mm] dann hast du eine div. MINOrante
>
> lg Kai
LG
schachuzipus
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Sorry, da hab ich mich wohl sehr vertan.
Stimmt... ich hab die Abschätzung mit der von [mm] \wurzel{n^2-4} [/mm] verwechselt!
lg Kai
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