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| Aufgabe | Seien a,b aus R mit a,b > 0. Bestimmen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{a^{x} - 1}{x} [/mm] |
Frage 1:
Wie komme ich hier zu meinem Grenzwert?
ich könnte ja an sich aus dem [mm] a^{x} [/mm] ein [mm] e^{xlog(a)} [/mm] machen, aber danach stehe ich irgendwie auf dem Schlauch.
Tipps für schlaue Umformungen wären sehr willkommen. (Den Satz von L´Hopital darf ich nicht benutzen.)
Frage 2:
Könnte mir evtl jemand sagen ob ich diese Aufgabe hier richtig gerechnet habe? (selbe Aufgabenstellung)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{log(x)}{x^{b}}
[/mm]
daraus mache ich
[mm] \bruch{1}{b}\bruch{b*log(x)}{e^{b*log(x)}} [/mm]
Jetzt substituiere ich (b*log(x)) durch y und erhalte
[mm] \bruch{1}{b}\bruch{y}{e^{y}} [/mm] was für [mm] y\to\infty \to0 [/mm] geht
Frage 3:
[mm] \limes_{n\rightarrow0+0}x^{x} [/mm] kann ich schreiben als [mm] e^{x*log(x)} [/mm] Mein Problem hier ist: Der Logarithmus ist doch zwischen 1 und 0 garnicht definiert, was soll ich hier also machen?
Fragen über Fragen :)
mfg
Phrix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:49 Do 18.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Seien a,b aus R mit a,b > 0. Bestimmen Sie den
> Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{a^{x} - 1}{x}[/mm]
> Frage 1:
>
Setze f(x) = [mm] a^x, [/mm] dann ist [mm] \bruch{a^{x} - 1}{x} [/mm] = [mm] \bruch{f(x)- f(0)}{x-0}
[/mm]
Der gesuchte Grenzwert ist also gerade f'(0)
> Wie komme ich hier zu meinem Grenzwert?
>
> ich könnte ja an sich aus dem [mm]a^{x}[/mm] ein [mm]e^{xlog(a)}[/mm]
> machen, aber danach stehe ich irgendwie auf dem Schlauch.
>
> Tipps für schlaue Umformungen wären sehr willkommen. (Den
> Satz von L´Hopital darf ich nicht benutzen.)
>
> Frage 2:
>
> Könnte mir evtl jemand sagen ob ich diese Aufgabe hier
> richtig gerechnet habe? (selbe Aufgabenstellung)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{log(x)}{x^{b}}[/mm]
>
> daraus mache ich
> [mm]\bruch{1}{b}\bruch{b*log(x)}{e^{b*log(x)}}[/mm]
> Jetzt substituiere ich (b*log(x)) durch y und erhalte
> [mm]\bruch{1}{b}\bruch{y}{e^{y}}[/mm] was für [mm]y\to\infty \to0[/mm] geht
O.K.
>
> Frage 3:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow0+0}x^{x}[/mm] kann ich schreiben als
> [mm]e^{x*log(x)}[/mm] Mein Problem hier ist: Der Logarithmus ist
> doch zwischen 1 und 0 garnicht definiert, was soll ich hier
> also machen?
Was ist los ? Der Log. ist sehr wohl def. für x [mm] \in [/mm] (0,1]
FRED
>
>
> Fragen über Fragen :)
>
> mfg
> Phrix
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Vielen dank für deine Antwort :)
Zu 1
Ich darf leider generell (noch) keine Ableitungen verwenden.
Zu 2
Fein
Zu 3
Was mache ich denn dann bei dieser Aufgabe? Ich verstehe es leider nicht.
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Hallo Phrixotrichus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Schreibe [mm] $a^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(a)}$ [/mm] als ![[]](/images/popup.gif) Exponentialreihe und fasse den Bruch zusammen.
[mm] $$\exp(x) [/mm] \ := \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] 1+x+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{6}+...$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Ok, 3 habe ich jetzt ein wenig rumgespielt und kam auf 1 als GW.
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