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Grenzwertermittlung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Fr 03.02.2006
Autor: STL

Aufgabe
Ermittle den folgenden Grenzwert (sofern er exisitert):

lim (h->0) [mm] (((x+h)^5)-x^5)/h [/mm] (x = const.)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Wie gehe ich hier am besten an die Aufgabe heran?

Danke für die Hilfe.

        
Bezug
Grenzwertermittlung: Zwei Wege
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Fr 03.02.2006
Autor: Roadrunner

Hallo STL,

[willkommenmr] !!


Entweder Du muliplizierst die Klammer [mm] $(x+h)^5$ [/mm] aus und fasst anschließend zusammen ...

Alternativ kannst Du auch den MBGrenzwertsatz nach de l'Hospital anwenden, da hier der Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vorliegt.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Grenzwertermittlung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:02 Fr 03.02.2006
Autor: STL

Vielen Dank!
Das war´s!

Bezug
                
Bezug
Grenzwertermittlung: in der Schule ...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Fr 03.02.2006
Autor: informix

Aufgabe
Entweder Du muliplizierst die Klammer $ [mm] (x+h)^5 [/mm] $ aus und fasst anschließend zusammen ...  

Hallo Roadrunner,

auf Schulniveau ist das durchaus lösbar, oder?

$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{(x+h)^5-x^5}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1}{h}(x^5+5x^4h+10x^3h^2.... [/mm] - [mm] x^5)$ [/mm]

$=  [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1}{h}(5x^4h+10x^3h^2.... [/mm] ) = 5 [mm] x^4 [/mm] + [mm] \limes_{h\rightarrow 0}(10x^3h [/mm] + ...) = [mm] 5x^4$ [/mm]

Man kann doch in den hinteren Termen jeweils durch h [mm] \ne [/mm] 0 kürzen und dann erst den Grenzwert berechnen -

oder sehe ich da was falsch?

Gruß informix



Bezug
                        
Bezug
Grenzwertermittlung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Fr 03.02.2006
Autor: Yuma

Hallo Informix,

das ist absolut richtig!

Da du aber wahrscheinlich auf eine Antwort von Roadrunner wartest, poste ich dies hier nur als Mitteilung, um den Status offen zu halten...

MFG,
Yuma

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertermittlung: Lösbar!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:11 Fr 03.02.2006
Autor: Roadrunner

Hallo informix!


Schön, das Du so etwas mich fragst ... ;-)


Aber ich schließe mich meinem Vorredner Yuma an und sage, dass dies in der Schule durchaus lösbar ist.


Die Erwähnung von MBde l'Hospital war nur der Vollständigkeit halber und nicht unbedingt schulgeeignet ...


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Grenzwertermittlung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Fr 03.02.2006
Autor: Yuma

Hallo,

kann man hier nicht einfach folgendermaßen argumentieren:

Mit [mm] $f(x)=x^{5}$ [/mm] wäre $ [mm] \lim_{h\rightarrow 0}\bruch{(x+h)^{5}-x^{5}}{h}=f'(x)=5x^{4}$? [/mm]

Oder sollte gerade gezeigt werden, dass man die Ableitung so berechnen kann?

MFG,
Yuma

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertermittlung: Zusammenhang?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Fr 03.02.2006
Autor: informix

Hallo,
>  
> kann man hier nicht einfach folgendermaßen argumentieren:
>  
> Mit [mm]f(x)=x^{5}[/mm] wäre [mm]\lim_{h\rightarrow 0}\bruch{(x+h)^{5}-x^{5}}{h}=f'(x)=5x^{4}[/mm]?
>  
> Oder sollte gerade gezeigt werden, dass man die Ableitung
> so berechnen kann?

geeenau.

Ich vermute mal, dass genau die Ableitungsregel hier nachgewiesen werden sollte.
Das kommt immer auf den Frage-Zusammenhang an.
Wenn die Regel schon bekannt ist, ist die obige Argumentation auch ok.

Die l'Hospital'sche Regel ist nicht unbedingt Schulstoff, und schon gar nicht am Anfang der Besprechung von Differentiation....

Gruß informix


Bezug
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