Grenzwerte von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mi 19.11.2008 | | Autor: | HeLu |
| Aufgabe | Bestimme mit Hilfe des Cauchy-Produkts den Grenzwert der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{i+1}{3^{i}} [/mm] |
Hallo
Ich soll den Grenzwert der oben genannten Reihe mit dem Cauchy-Produkt bestimmen. Das Cauchy-Produkt selber kenne ich, und glaube es auch verstanden zu haben. Trotzdem fehlt mir der richtige Ansatz. Was ich bis jetzt versucht habe:
1. Veruch:
Ich habe versucht die Folge [mm] \bruch{i+1}{3^{i}} [/mm] als explizite Lösung der Gleichung [mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i} [/mm] auszudrücken. Ich suche also 2 Folgen, über die ich nichts weiß, außer der expliziten Darstellung der Summe ihrer Cauchy-Produkte.
Meiner Ansicht nach ist da entweder der Ansatz völlig falsch, was ich nicht hoffe, oder es ist einfach nur eine Sackgasse (zumindest für mich).
2.Versuch:
Ich bilde das Cauchy-Produkt der gegebenen Folge [mm] c_{n}=\bruch{i+1}{3^{i}} [/mm] mit sich selbst, erhalte eine Folge [mm] a_{n}, [/mm] bilde den Grenzwert ihrer unendlichen Reihe und erhalte den Grenzwert der unendlichen Reihe von [mm] c_{n} [/mm] im Quadrat.
Das Problem hierbei ist, dass die folge [mm] a_{n} [/mm] viel komplizierter ist, als die folge [mm] c_{n}. a_{n}=\bruch{n^{3}-6n^{2}-7n}{6*3^{n}}. [/mm] Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet!
Momentan versuche ich, das Cauchy-Produkt von [mm] c_{n} [/mm] mit einer anderen beliebigen absolut konvergenten Folge (von der ich den Grenzwert ihrer unendlichen Reihe kenne) zu bilden, sodass ein einfachereres [mm] a_{n} [/mm] entsteht. Leider noch ohne Erfolg.
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, wo ich in meinen Ansätzen Fehler gemacht habe, und vor allem für einen HINWEIS darauf, wie ich die Aufgabe lösen kann. (Will es ja eigentlich selber schaffen!)
Vielen Dank im Vorraus!
PS:
1. Hoffe ich habe das mit den Formeln richtig gemacht!
2. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Do 20.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme mit Hilfe des Cauchy-Produkts den Grenzwert der
> folgenden Reihe:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{i+1}{3^{i}}[/mm]
> Hallo
>
> Ich soll den Grenzwert der oben genannten Reihe mit dem
> Cauchy-Produkt bestimmen. Das Cauchy-Produkt selber kenne
> ich, und glaube es auch verstanden zu haben. Trotzdem fehlt
> mir der richtige Ansatz. Was ich bis jetzt versucht habe:
>
> 1. Veruch:
> Ich habe versucht die Folge [mm]\bruch{i+1}{3^{i}}[/mm] als
> explizite Lösung der Gleichung [mm]\summe_{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i}[/mm]
> auszudrücken. Ich suche also 2 Folgen, über die ich nichts
> weiß, außer der expliziten Darstellung der Summe ihrer
> Cauchy-Produkte.
Gute Idee
> Meiner Ansicht nach ist da entweder der Ansatz völlig
> falsch, was ich nicht hoffe, oder es ist einfach nur eine
> Sackgasse (zumindest für mich).
Tipp: sei |q|<1. Berechne mal [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}q^n)(\summe_{n=0}^{\infty}q^n) [/mm] mit Hilfe des Cauchyprodukts.
>
> 2.Versuch:
> Ich bilde das Cauchy-Produkt der gegebenen Folge
> [mm]c_{n}=\bruch{i+1}{3^{i}}[/mm] mit sich selbst,
Keine Gute Idee (s. Versuch 1)
FRED
>erhalte eine
> Folge [mm]a_{n},[/mm] bilde den Grenzwert ihrer unendlichen Reihe
> und erhalte den Grenzwert der unendlichen Reihe von [mm]c_{n}[/mm]
> im Quadrat.
> Das Problem hierbei ist, dass die folge [mm]a_{n}[/mm] viel
> komplizierter ist, als die folge [mm]c_{n}. a_{n}=\bruch{n^{3}-6n^{2}-7n}{6*3^{n}}.[/mm]
> Hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet!
>
> Momentan versuche ich, das Cauchy-Produkt von [mm]c_{n}[/mm] mit
> einer anderen beliebigen absolut konvergenten Folge (von
> der ich den Grenzwert ihrer unendlichen Reihe kenne) zu
> bilden, sodass ein einfachereres [mm]a_{n}[/mm] entsteht. Leider
> noch ohne Erfolg.
>
> Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, wo ich
> in meinen Ansätzen Fehler gemacht habe, und vor allem für
> einen HINWEIS darauf, wie ich die Aufgabe lösen kann. (Will
> es ja eigentlich selber schaffen!)
> Vielen Dank im Vorraus!
>
> PS:
> 1. Hoffe ich habe das mit den Formeln richtig gemacht!
> 2. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Do 20.11.2008 | | Autor: | HeLu |
Hallo
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Hab nach deinem Tipp jetzt in nur 5 min eine Lösung zur Aufgabe gefunden. Nur zur Kontrolle, ob das auch alles so stimmt und ich den Tipp richtig interpretiert habe!
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^{n}=\bruch{1}{1-q}
[/mm]
Also ist [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}q^{n})(\summe_{n=0}^{\infty}q^{n})=\bruch{1}{(1-q)^{2}}
[/mm]
Durch das Cauchyprodukt erhält man:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}nq^{n}=\bruch{1}{(1-q)^{2}}
[/mm]
Dann ist:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(n+1)q^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}nq^{n}+\summe_{n=0}^{\infty}q^{n}
[/mm]
für [mm] k=\bruch{1}{3} [/mm] ergibt sich dann die Lösung 3,75
Stimmt das so?
Danke für die Hilfe
Gruß
Henrik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Do 20.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Do 20.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> alles richtig
Leider nicht
Das Cauchyprodukt ist
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)q^{n}=\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
FRED
> Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Do 20.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Hab nach deinem Tipp jetzt in nur 5 min eine Lösung zur
> Aufgabe gefunden. Nur zur Kontrolle, ob das auch alles so
> stimmt und ich den Tipp richtig interpretiert habe!
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}q^{n}=\bruch{1}{1-q}[/mm]
>
> Also ist
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty}q^{n})(\summe_{n=0}^{\infty}q^{n})=\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
>
> Durch das Cauchyprodukt erhält man:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}nq^{n}=\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
>
Das stimmt nicht ganz
das Cauchyprodukt ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)q^{n}=\bruch{1}{(1-q)^{2}}[/mm]
FRED
> Dann ist:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)q^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}nq^{n}+\summe_{n=0}^{\infty}q^{n}[/mm]
>
> für [mm]k=\bruch{1}{3}[/mm] ergibt sich dann die Lösung 3,75
>
> Stimmt das so?
> Danke für die Hilfe
> Gruß
> Henrik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Do 20.11.2008 | | Autor: | HeLu |
Natürlich, die Summe fängt ja bei 0 an. Dann sind es bis n n+1 Terme.
Danke für eure Hilfe!
Gruß
|
|
|
|
