Grenzwerte von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm](a_n)[/mm] eine reellwertige Folge und [mm]b_n:= \bruch{1} {n}(a_1+a_2+...+a_n)[/mm] für [mm]x\in\IN[/mm]. zeigen Sie: [mm] \lim_{n \to \infty}a_n=a \Rightarrow \lim_{n \to \infty}b_n = a [/mm] |
Hallo,
Ich habe jetzt versucht, [mm]b_n[/mm] irgendwie in 2 Teilfunktionen einzuteilen. Aber irgendwie komme ich da auf keinen wirklich grünen Zweig.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke und LG, Fredi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Mo 21.05.2007 | | Autor: | FrediBlume |
Ich meine natürlich [mm]n\in\IN[/mm]
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Hallo Fredi!
Beginne hier einfach mal mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] der Konvergenz:
[mm] $\left| \ b_n-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{1}{n}*\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{a_1+a_2+a_3+...+a_n-n*a}{n} \ \right|\ [/mm] = \ [mm] \left| \ \bruch{(a_1-a)+(a_2-a)+(a_3-a)+...+(a_n-a)}{n} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}*\left| \ (a_1-a)+(a_2-a)+(a_3-a)+...+(a_n-a) \ \right| [/mm] \ < \ ...$
Nun weiter mit der n-fachen Anwendung der Dreiecksungleichung.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
Was meinst du mit der n-fachen Anwendung der Dreiecksungleichung? Kenne bisher nur eine mit a und b.
LG&Danke, Fredi
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Hallo Fredi!
[mm] $\bruch{1}{n}*\left| \ (a_1-a)+(a_2-a)+(a_3-a)+...+(a_n-a) \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{n}*\left( \ |a_1-a|+|a_2-a|+|a_3-a|+...+|a_n-a| \ \right) [/mm] \ < \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:04 Di 22.05.2007 | | Autor: | FrediBlume |
Hallo Roadrunner!
Ja, das ist mir einleuchtend... . Aber irgendwie weiß ich nicht, worauf ich damit hinaus will. Mir fehlt qasi etwas das Ziel, um weiterzukommen... hast du noch nen Tipp :-/.
Danke&LG, Fredi
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Hallo
Roadrunner meinte wohl, dass du [mm] $\epsilon$-Kriterium [/mm] und [mm] $\Delta$-Ungleichung [/mm] solltest. Ich gebe zu, dass es fuer einen Anfaenger nicht sofort einsichtig ist.
[mm] 1)$a_k$ [/mm] ist konvergent und daher eine Cauchyfolge, das heisst, dass fuer alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] es ein [mm] $n_0$ [/mm] gibt, so dass fuer alle [mm] $k\geq n_0$ [/mm] gilt
[mm] $\vert a_k [/mm] - a [mm] \vert [/mm] < [mm] \epsilon$.
[/mm]
2)Mit der [mm] $\Delta$-Unglch:
[/mm]
[mm] $\vert \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N (a_k [/mm] - [mm] a)\vert\leq \epsilon\frac{N-n_0 +1}{N} [/mm] + [mm] Rest(N,n_0)$.
[/mm]
3) Lass $N$ gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen und schaetze dabei [mm] $R(N.n_0)$ [/mm] ab.
Viel Erfolg beim Aufschreiben
Kornfeld
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