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| Aufgabe | Berechnen Sie den folgenden Grenzwert mit Hilfe der Regel von Bernoulli - de l'Hospital:
[mm]lim((lnx)(ln(1-x)))[/mm]
x läuft gegen 0. |
Ich habe diese Frage nirgendwo anders gestellt.
Hallo,
ich soll den Grenzwert der oben genannten Aufgabe berechnen. Beim Vereinfachen des Ergebnisses komme ich leider nicht weiter.
[mm]lim((lnx)(ln(1-x)))[/mm]
[mm]lim\bruch{(lnx)}{(ln(1-x))^{-1}}[/mm]
Dann habe ich beide Funktionen angeleitet:
[mm]lim\bruch{(x^{-1})}{\bruch{1}{(1-x)*(ln^{2}(1-x))}[/mm]
Mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert:
[mm]lim\bruch{(1-x)*(ln^{2}(1-x))}{x}[/mm]
Aus dem Nenner habe ich dann [mm]x^{-1}[/mm] gemacht und mit der Klammer ausmultipliziert:
[mm]-x^{-1}*ln^{2}(1-x)[/mm]
Hier komme ich nicht weiter. Ich vermute mal, dass es nicht reicht, zu sagen, dass der Grenzwert 0 ist, weil ln(1)=0 ist und man somit immer mit 0 multipliziert. Wie bekomme ich den unbestimmten Ausdruck [mm]x^{-1}[/mm], wo ich dann ja durch 0 teilen würde, weg?
Danke für Hilfe :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 So 24.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Berechnen Sie den folgenden Grenzwert mit Hilfe der Regel
> von Bernoulli - de l'Hospital:
> [mm]lim((lnx)(ln(1-x)))[/mm]
> x läuft gegen 0.
> Ich habe diese Frage nirgendwo anders gestellt.
>
> Hallo,
> ich soll den Grenzwert der oben genannten Aufgabe
> berechnen. Beim Vereinfachen des Ergebnisses komme ich
> leider nicht weiter.
>
> [mm]lim((lnx)(ln(1-x)))[/mm]
>
> [mm]lim\bruch{(lnx)}{(ln(1-x))^{-1}}[/mm]
Meinst du folgenden Grenzwert: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\frac{ln(x)}{(ln(1-x))^{-1}} [/mm] ?
Mach dir nun bewusst, ob du die Regel von L'Hospital anwenden darfst!
>
> Dann habe ich beide Funktionen angeleitet:
> [mm]lim\bruch{(x^{-1})}{\bruch{1}{(1-x)*(ln^{2}(1-x))}[/mm]
>
Tipp: [mm] (\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}
[/mm]
> Mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert:
> [mm]lim\bruch{(1-x)*(ln^{2}(1-x))}{x}[/mm]
>
> Aus dem Nenner habe ich dann [mm]x^{-1}[/mm] gemacht und mit der
> Klammer ausmultipliziert:
> [mm]-x^{-1}*ln^{2}(1-x)[/mm]
>
> Hier komme ich nicht weiter. Ich vermute mal, dass es nicht
> reicht, zu sagen, dass der Grenzwert 0 ist, weil ln(1)=0
> ist und man somit immer mit 0 multipliziert. Wie bekomme
> ich den unbestimmten Ausdruck [mm]x^{-1}[/mm], wo ich dann ja durch
> 0 teilen würde, weg?
>
> Danke für Hilfe :)
>
Probiere es nochmal..
edit: Schreib bitte genau auf welchen Grenzwert du betrachtest. Übrigens kann es vorkommen, dass du öfter die Regel von L'Hospital anwenden musst!
Gruß
DieAcht
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Okay, den Tipp verstehe ich jetzt nicht. Wenn ich ln(x) ableite, bekomme ich doch [mm]\bruch{1}{x}[/mm] raus. Noch einmal leite ich doch nicht ab?
Bei der Anwendbarkeit bin ich mir auch nicht so ganz sicher, der Zähler geht auf jeden Fall gegen Null, der Nenner geht gegen [mm]0^{-1}[/mm], was ist denn das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 So 24.11.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
schreib uns mal bitte auf welchen Grenzwert du genau betrachtest. Das am Anfang ist ein wenig schwammig.
[mm] (\frac{1}{ln(x)})'=-\frac{1}{(x)'\cdot ln^2(x)}
[/mm]
Das Minus am Anfang hat bei dir entweder bewusst gefehlt, da es sich insgesamt kürzt, oder unbewusst gefehlt.
Gruß
DieAcht
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Okay, gegeben ist die Funktion:
[mm]lim((lnx)*(ln(1-x))) [/mm] für [mm] x \to 0 [/mm]
Davon soll ich mittels l'Hospital den Grenzwert berechnen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 So 24.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Okay, gegeben ist die Funktion:
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> [mm]lim((lnx)*(ln(1-x)))[/mm] für [mm]x \to 0[/mm]
>
> Davon soll ich mittels l'Hospital den Grenzwert berechnen.
>
Hallo,
dein Vorgehen schafft einen Term der Form [mm] $\frac{-\infty}{-\infty}$, [/mm] da ist noch etwas zu tun.
Gruß Abakus
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Ja, das weiß ich.
Beim Vereinfachen lande ich bei [mm]-x^{-1} * ln^{2}(1-x)[/mm]. Der Rechenweg steht im ersten Post. Wie kann ich da nun noch weiter vereinfachen, sodass ich auf ein Ergebnis komme?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 So 24.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Ja, das weiß ich.
>
> Beim Vereinfachen lande ich bei [mm]-x^{-1} * ln^{2}(1-x)[/mm]. Der
> Rechenweg steht im ersten Post. Wie kann ich da nun noch
> weiter vereinfachen, sodass ich auf ein Ergebnis komme?
Hallo,
du hast jeweils Zähler und Nenner abgeleitet, obwohl beide NICHT gegen Null gehen. Das ist nicht Sinn von L'Hospital.
Du musst ERST deinen gegebenen Term auf die Form 0/0 bringen, DANN kannst du ableiten.
Gruß Abakus
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