Grenzwerte mit gebr Exponenten < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | lim [mm] (2*cos(x)-1)^\bruch{1}{x^2}
[/mm]
x->0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Freunde,
heute geht es um die Grenzwertbestimmung von Funktionen, bei denen ein Exponent an der Klamemr steht.
Laut Plot schwankt der Graph zwischen 1 und -3, je nach Klammerstzung entsteht auch so ein .. zerhackter Graph?
Wenn ich x im Exponenten gegen 0 gehen lasse, wird der Exponent ja unendlich groß, und damit die ganze Funktion.
Und mit cos(0)=1 steht in der Klammer letztlich (2-1).
Aber wie ist der Rechnerische Ansatz für solche Aufgaben?
Sicher den Exponenten vor die Klammer bekommen?
Also den Exponenten unter den Bruchstrich bekommen, und dann mit ^-1 vor die Klammer setzen?
Oder logarithmieren?
MfG W*
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Hallo Weltuntergang,
> lim [mm](2*cos(x)-1)^\bruch{1}{x^2}[/mm]
> x->0
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Freunde,
>
> heute geht es um die Grenzwertbestimmung von Funktionen,
> bei denen ein Exponent an der Klamemr steht.
>
> Laut Plot schwankt der Graph zwischen 1 und -3, je nach
> Klammerstzung entsteht auch so ein .. zerhackter Graph?
>
> Wenn ich x im Exponenten gegen 0 gehen lasse, wird der
> Exponent ja unendlich groß, und damit die ganze Funktion.
> Und mit cos(0)=1 steht in der Klammer letztlich (2-1).
>
> Aber wie ist der Rechnerische Ansatz für solche Aufgaben?
Na klar!
Für [mm]a>0[/mm] ist [mm]a^b=e^{\ln\left(a^b}\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm]
Schreibe hier also um:
[mm](2\cos(x)-1)^{\frac{1}{x^2}}=e^{\frac{\ln(2\cos(x)-1)}{x^2}}[/mm]
Nun bedenke, dass die Exponentialfunktion stetig ist, dass also
[mm]\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}[/mm] ist.
Picke dir also den Exponenten heraus und untersuche, was der für [mm]x\to 0[/mm] treibt. (de l'Hôpital kann helfen)
Dann am Ende [mm]e^{(\ldots)}[/mm] nicht vergessen!
>
> Sicher den Exponenten vor die Klammer bekommen?
>
> Also den Exponenten unter den Bruchstrich bekommen, und
> dann mit ^-1 vor die Klammer setzen?
> Oder logarithmieren?
>
> MfG W*
Gruß
schachuzipus
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Auf die Idee, dass e hoch ln zu nehmen ... ich nicht...
Dann zum Exponenten:
Hóspital-> getrennt ableiten:
macht: [mm] \bruch{\bruch{-2sin(x)}{2cos(x)-1}}{2x}
[/mm]
oder [mm] \bruch{-2sin(x)*2x}{2cos(x)-1}
[/mm]
Der Exponent geht mMn (..vorsicht) gegen Null, allein schon wegen 2x.
e nicht vergessen:
[mm] e^{0} [/mm] = 1
Richtig so? :?:
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> Auf die Idee, dass e hoch ln zu nehmen ... ich nicht...
>
> Dann zum Exponenten:
>
> Hóspital-> getrennt ableiten:
>
> macht: [mm]\bruch{\bruch{-2sin(x)}{2cos(x)-1}}{2x}[/mm]
>
> oder [mm]\bruch{-2sin(x)*2x}{2cos(x)-1}[/mm]
hier kommt das 2x zum nenner, nicht in den zähler (doppelbrüche nochmal anschauen). dann nochmal de l'hopital
>
> Der Exponent geht mMn (..vorsicht) gegen Null, allein schon
> wegen 2x.
>
> e nicht vergessen:
>
> [mm]e^{0}[/mm] = 1
>
> Richtig so? :?:
gruß tee
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OK, auch wenn ich das mit Doppelbrüchen anders in Erinnerung hatte...
[mm] \bruch{-2sin(x)}{2x(2cos(x)-1)}
[/mm]
[mm] \bruch{-2sin(x)}{2(x*cos(x)-\bruch{1}{2})}
[/mm]
[mm] \bruch{-sin(x)}{x*cos(x)-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Hòspital, extra ableiten
[mm] \bruch{cos(x)}{cos(x)-x*sin(x)}
[/mm]
Gehx gegen Null,
[mm] \bruch{1}{1-0*0} [/mm] = 1
Dieses mal richtig?
MfG 
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> OK, auch wenn ich das mit Doppelbrüchen anders in
> Erinnerung hatte...
>
und scheinbar hast du bruchrechnung im gesamten anders in erinnerung. wie kommst du von dem 1. term auf den 2.?
> [mm]\bruch{-2sin(x)}{2x(2cos(x)-1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-2sin(x)}{2(x*cos(x)-\bruch{1}{2})}[/mm]
>
> [mm]\bruch{-sin(x)}{x*cos(x)-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Hòspital, extra ableiten
>
> [mm]\bruch{cos(x)}{cos(x)-x*sin(x)}[/mm]
>
> Gehx gegen Null,
>
> [mm]\bruch{1}{1-0*0}[/mm] = 1
>
> Dieses mal richtig?
>
> MfG
-1 sollte heraus kommen
gruß tee
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Hm naja ich habe zum 2. Bruch die 2 aus dem Nenner herausge..zaubert.
Ich habe das heute nochmal versucht:
[mm] \bruch{-2sin(x)}{2x(2cos(x)-1)} [/mm] | 2 kürzen
[mm] \bruch{-sin(x)}{x(2cos(x)-1)} [/mm] | Nenner ausmultiplizieren
[mm] \bruch{-sin(x)}{2*x*cos(x)-x}
[/mm]
Jetzt wieder L'Hopital und getrennt ableiten?
MfG W~~
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Hallo nochmal,
> Hm naja ich habe zum 2. Bruch die 2 aus dem Nenner
> herausge..zaubert.
>
> Ich habe das heute nochmal versucht:
>
> [mm]\bruch{-2sin(x)}{2x(2cos(x)-1)}[/mm] | 2 kürzen
>
> [mm]\bruch{-sin(x)}{x(2cos(x)-1)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") | Nenner ausmultiplizieren
Nicht nötig!
>
> [mm]\bruch{-sin(x)}{2*x*cos(x)-x}[/mm]
>
> Jetzt wieder L'Hopital und getrennt ableiten?
Ja, wieso geht das?
Und nimm am besten den Term mit dem nicht ausmultiplizierten Nenner ...
>
> MfG W~~
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Mi 26.01.2011 | | Autor: | yuppi |
Ich habe heute den Übungsleiter gefragt wieso wir nicht l Hospital gemacht haben. Er meinte, dass das bei unseren Aufgaben nicht notwendig sei.
Also für HÖMA 1. Heißt das das es momentan zeitverschwendung ist bezüglich der Klausurvorbereitung wenn ich es mir aneigne, oder kann ich es vielleicht bei ein paar leichteren Aufgaben ebenfalls anwenden. Also L Hospital.
Übrigens habe ich nicht verstenden wieso in diesem Fall Hospital angewendet wurde.
ln(2cos(x)-1)= ist doch bei limes gegen 0 1
und der Nenner [mm] 0^2 [/mm] War das der Grund. ?
Weil der Nenner gegen unendlich verläuft, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Do 27.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo yuppi!
Herrn de l'Hospital darf ich bemühen bei Grenzwerten mit den unbestimmten Ausdrücken [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] bzw. [mm] $\pm\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] .
Der Term [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln\left[2*\cos(x)-1\right]}{x^2}$ [/mm] ist von der Form [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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So, dann mal los:
[mm] \bruch{-sin(x)}{x(2cos(x)-1)}
[/mm]
Zähler und Nenner ableiten:
[mm] \bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)+1}
[/mm]
macht für x gegen 0
[mm] \bruch{1}{2*1+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
-> [mm] e^\bruch{1}{3}
[/mm]
richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> So, dann mal los:
>
> [mm]\bruch{-sin(x)}{x(2cos(x)-1)}[/mm]
>
> Zähler und Nenner ableiten:
>
> [mm]\bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)+1}[/mm]
Nein. Richtig: [mm]\bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)-1}[/mm]
FRED
>
> macht für x gegen 0
>
> [mm]\bruch{1}{2*1+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> -> [mm]e^\bruch{1}{3}[/mm]
>
> richtig?
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Einmal noch...
[mm] \bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)-1}
[/mm]
Für x gegen 0
[mm] \bruch{1}{0+2*1-1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1} [/mm] =1
-> [mm] e^1 [/mm] = 0
jetzt aber?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Einmal noch...
>
> [mm]\bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)-1}[/mm]
>
> Für x gegen 0
>
> [mm]\bruch{1}{0+2*1-1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{1}[/mm] =1
>
> -> [mm]e^1[/mm] = 0
>
> jetzt aber?
Nein. -cos(0)=-1
FRED
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Kann nicht mehr lange dauern
[mm] \bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)-1}
[/mm]
x gegen 0
[mm] \bruch{-1}{(2*-1)-1}
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{-3}
[/mm]
Macht jetzt [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Also [mm] e^\bruch{1}{3} [/mm] ?
Hatte ich bei einer anderen (falschen) Rechnung schon mal bekommen
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Hallo noch einmal,
> Kann nicht mehr lange dauern
Wer weiß? ...
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> [mm]\bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)-1}[/mm]
>
> x gegen 0
>
> [mm]\bruch{-1}{(2*\red{-1})-1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]\cos(x)[/mm] geht für [mm]x\to 0[/mm] gegen [mm]\cos(0)=1[/mm]
Also geht der Bruch gegen [mm]\frac{-1}{(2\cdot{}1)-1}=\ldots[/mm]
>
> [mm]\bruch{-1}{-3}[/mm]
>
> Macht jetzt [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Also [mm]e^\bruch{1}{3}[/mm] ?
>
> Hatte ich bei einer anderen (falschen) Rechnung schon mal
> bekommen
Jo, das bleibt auch falsch!
Gruß
schachuzipus
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Ja, aber die -1 vom Zähler gleich nochmal verwendet...
Also kommt [mm] \bruch{1}{-1} [/mm] raus, und damit e^-1?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \bruch{-cos(0)}{-20sin(0)+2cos(0)-1} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2-1}=-1$ [/mm]
FRED
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Erstmal wieder danke für die Hilfe
Ich hab das nochmal bei der nächsten Aufgabe versucht:
lim [mm] (3x+1)^\bruch{1}{6x}
[/mm]
x->0
wird zu [mm] e^\bruch{ln(3x+1)}{6x}
[/mm]
oder [mm] e^\bruch{ln (x(3+\bruch{1}{x})}{6x}
[/mm]
für x->0 kommt [mm] \bruch{0}{0} [/mm] raus, also L'Hopital
[mm] \bruch{\bruch{3}{3x+1}}{6} [/mm] = [mm] \bruch{3}{(3x+1)*6} [/mm] = [mm] \bruch{3}{18x+6} [/mm] = [mm] \bruch{3}{18*0+6} [/mm] = [mm] \bruch{3}{6} =\bruch{1}{3} [/mm] -> [mm] e^\bruch{1}{3}
[/mm]
Richtig?
MfG WO´´
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Hallo Weltuntergang,
> Erstmal wieder danke für die Hilfe
>
> Ich hab das nochmal bei der nächsten Aufgabe versucht:
>
> lim [mm](3x+1)^\bruch{1}{6x}[/mm]
> x->0
>
> wird zu [mm]e^\bruch{ln(3x+1)}{6x}[/mm]
>
> oder [mm]e^\bruch{ln (x(3+\bruch{1}{x})}{6x}[/mm]
>
> für x->0 kommt [mm]\bruch{0}{0}[/mm] raus, also L'Hopital
>
> [mm]\bruch{\bruch{3}{3x+1}}{6}[/mm] = [mm]\bruch{3}{(3x+1)*6}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{18x+6}[/mm] = [mm]\bruch{3}{18*0+6}[/mm] = [mm]\bruch{3}{6} =\bruch{1}{3}[/mm]
Hier hast Du Dich verschrieben:
[mm]\bruch{3}{18x+6}[/mm] = [mm]\bruch{3}{18*0+6}[/mm] = [mm]\bruch{3}{6} =\bruch{1}{\blue{2}}[/mm]
> -> [mm]e^\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Richtig?
>
> MfG WO´´
Gruss
MathePower
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