Grenzwerte mit Sinus x -> 0 < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $a\in \IR, [/mm] a > 0$. Untersuche die folgenden Grenzprozesse und bestimme gegebenenfalls die Grenzwerte:
1.) [mm] $\lim_{x\to 0+}x^{-\alpha}*\sin(x)$
[/mm]
2.) [mm] $\lim_{x\to 0+}x^{\alpha}*\sin(x^{-1})$ [/mm] |
Hallo!
Ich wollte euch bitten, über meine Lösungen zu schauen und gegebenenfalls Ungenauigkeit schärftens zu kritisieren  :
1.)
Vermutung:
$0 < [mm] \alpha [/mm] < 1$: 0
[mm] $\alpha [/mm] = 1$: 1
[mm] $\alpha [/mm] > 1$: [mm] \infty
[/mm]
Nachweis:
Fall [mm] $\alpha [/mm] = 1$: Bekannt (aus Vorlesung).
Fall $0 < [mm] \alpha [/mm] < 1$:
[mm] $\left|x^{-\alpha}*\sin(x)-0\right| [/mm] = [mm] \left|x^{-\alpha}*\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\right| [/mm] = [mm] \left|x^{1-\alpha}*\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*\frac{x^{2k}}{(2k+1)!}\right|$
[/mm]
[mm] $\le \left|x^{1-\alpha}\right|*\sum_{k=0}^{\infty}\frac{|x|^{2k}}{(2k+1)!} \le \left|x^{1-\alpha}\right|*\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1^{2k}}{(2k+1)!} \le |x|^{1-\alpha}*e \to [/mm] 0$,
da [mm] $1-\alpha [/mm] > 0$.
Das vorletzte Kleinergleich-Zeichen legitimiere ich dadurch, dass wir aufgrund der Grenzwertbetrachtung [mm] $x\to [/mm] 0+$ annehmen können, dass $0 < x < 1$ ist.
Stimmt das so?
Fall [mm] $\alpha [/mm] > 1$:
Hier würde ich wie folgt argumentieren: Es ist
[mm] $x^{-alpha}*\sin(x) [/mm] = [mm] x^{1-\alpha}*\frac{\sin(x)}{x}$ \to \infty$,
[/mm]
da [mm] $\frac{\sin(x)}{x}\to [/mm] 1$ und [mm] $x^{1-\alpha} \to \infty$.
[/mm]
Ich finde das aber eigentlich noch nicht so schön. Gibt es noch einen Weg, wie man das mit der Potenzreihendarstellung vom Sinus "offensichtlicher" machen kann?
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2.)
Vermutung: [mm] $\lim_{x\to 0+}x^{\alpha}*\sin(x^{-1}) [/mm] = 0$ für alle [mm] $\alpha\in\IR, \alpha [/mm] > 0$.
Begründung: Es ist
[mm] $\left|x^{\alpha}*\sin(x^{-1}) - 0\right| [/mm] = [mm] \left|x^{\alpha}\right|*\left|\sin(x^{-1})\right| \le \left|x^{\alpha}\right|*1 \to [/mm] 0$
für [mm] $x\to [/mm] 0+$. Das letzte Ungleichungszeichen wird dadurch legitimiert, weil der Sinus beschränkt ist.
Ist das so okay?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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Hallo,
bin weiter an der Beantwortung der Frage interessiert 
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Di 15.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Hallo Stefan,
was soll ich noch sagen , ohne mich ständig zu wiederholen ?
Diesmal sag ich was anderes: Deine Ausführungen sind völliger Unsinn.
Nein ! Spaß beiseite: wie immer alles korrekt und bestens begründet und argumentiert !
Weiter so !
Um einen meiner alten Lehrmeister zu zitieren: "Du hast das Zeug zum Hochschullehrer"
Grüße FRED
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Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort !
> Weiter so !
>
> Um einen meiner alten Lehrmeister zu zitieren: "Du hast
> das Zeug zum Hochschullehrer"
Danke ,
aber da dauert's noch ne Weile - bin ja erst erstes Semester!
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Mo 04.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Danke ,
> aber da dauert's noch ne Weile - bin ja erst erstes
> Semester!
Hallo Stefan,
wie kann da sein ? Wir hatten ja schon einige gemeinsame Diskussionen. Viele davon im Bereich Funktionentheorie.
Funktionentheorie gibts aber noch nicht im ersten Semester ? !?
Gruß FRED
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
das hatte ich während der Schule mal "nebenbei" gemacht, ich habe an dem Projekt "Schüleruniversität" der TU Dresden teilgenommen, bei dem man dann eine Vorlesung regulär hören darf und auch die Prüfungen etc. mitschreiben.
Ist aber bei Funktionentheorie nichts geworden, weil ich ab einer bestimmten Stelle nicht mehr die Zeit hatte, zu den Vorlesungen und Übungen zu gehen (da war ich auch vorher nur zweimal...) - Abitur
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Mo 04.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> das hatte ich während der Schule mal "nebenbei" gemacht,
> ich habe an dem Projekt "Schüleruniversität" der TU
> Dresden teilgenommen,
Sehr lobenswert !
> bei dem man dann eine Vorlesung
> regulär hören darf und auch die Prüfungen etc.
> mitschreiben.
> Ist aber bei Funktionentheorie nichts geworden, weil ich
> ab einer bestimmten Stelle nicht mehr die Zeit hatte, zu
> den Vorlesungen und Übungen zu gehen (da war ich auch
> vorher nur zweimal...) - Abitur
Dann kann ich Dir nur empfehlen, jetzt während Deines Studiums, Vorlesungen zur Funktionentheorie zu hören.
Für mich waren das die schönsten Vorlesungen (sowohl in meiner Rolle als Student, als auch später in meiner Rolle als Dozent).
Grüße FRED
>
> Grüße,
> Stefan
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