Grenzwerte mit Gaußklammer < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 So 11.04.2010 | | Autor: | mattloo |
| Aufgabe | Sei [mm] $\lfloor x\rfloor [/mm] : [mm] \IR \to \IZ$ [/mm] mit
[mm] $\lfloor x\rfloor [/mm] = [mm] max\{n \in \IZ | n \le x\}$
[/mm]
die Gaußklammer und $f$ und [mm] $f_m$ [/mm] definiert durch
$f(x) = (1-(x- [mm] \lfloor x\rfloor)*(\lfloor x\rfloor [/mm] +1 [mm] -x))^{|\lfloor x\rfloor |}$ [/mm] und [mm] $f_m(x) [/mm] = f(m!x)$
Zeige:
a) [mm] $\limes_{m\rightarrow\infty} \int_0^1 f_m [/mm] (x) dx =0$
b) [mm] $\limes_{m\rightarrow \infty} f_m(x) [/mm] = 1$ für [mm] $0\le x\le1, [/mm] x [mm] \in \IQ$ [/mm] |
Hallo,
ich habe keine Ahnung wie man integriert mit Gaußklammern.
Irgendwo habe ich gelesen, dass man das durch Zerstückelung der Integrationsintervalle macht, aber bei diesem Intervall weis ich nicht wie man das machen muss. Könnte mir vielleicht jemand sagen, wie ich anfangen soll? Ob man den Limes erstmal ignoriert und das Integral zuerst berechnet oder ob es komplett anders geht.
mattloo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 So 11.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo mattloo!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei [mm]\lfloor x\rfloor : \IR \to \IZ[/mm] mit [mm]\lfloor x\rfloor = max\{n \in \IZ | n \le x\}[/mm]
>
> die Gaußklammer und [mm]f[/mm] und [mm]f_m[/mm] definiert durch
>
> [mm]f(x) = (1-(x- \lfloor x\rfloor)*(\lfloor x\rfloor +1 -x))^{|\lfloor x\rfloor |}[/mm] und [mm]f_m(x) = f(m!x)[/mm]
>
> Zeige:
> a) [mm]\limes_{m\rightarrow\infty} \int_0^1 f_m (x) dx =0[/mm]
> b) [mm]\limes_{m\rightarrow \infty} f_m(x) = 1[/mm] für [mm]0\le x\le1, x \in \IQ[/mm]
>
> Hallo,
> ich habe keine Ahnung wie man integriert mit
> Gaußklammern.
> Irgendwo habe ich gelesen, dass man das durch
> Zerstückelung der Integrationsintervalle macht, aber bei
> diesem Intervall weis ich nicht wie man das machen muss.
> Könnte mir vielleicht jemand sagen, wie ich anfangen soll?
> Ob man den Limes erstmal ignoriert und das Integral zuerst
> berechnet oder ob es komplett anders geht.
Erstmal ein paar Tipps, damit du ein besseres Gefühl für die Funktionen bekommst.
Du betrachtest in der Aufgabe nur Werte [mm] $x\ge [/mm] 0$, und da sind [mm] $\lfloor x\rfloor [/mm] $ der ganzzahlige Anteil von x und [mm] $x-\lfloor x\rfloor [/mm] $ die Nachkommastellen von x. Es ist
[mm] 0\le x- \lfloor x\rfloor <1 \gdw 0 < 1-(x- \lfloor x\rfloor) \le 1 [/mm]
Weiterhin ist immer $1-(x- [mm] \lfloor x\rfloor) [/mm] = [mm] \lfloor x\rfloor [/mm] +1 -x $ und daher
[mm] f(x) = (1-(x- \lfloor x\rfloor))^{|\lfloor x\rfloor |+1} [/mm] ,
und da für [mm] $x\ge [/mm] 0$ auch [mm] $\lfloor x\rfloor \ge [/mm] 0$ ist:
[mm] f(x) = (1-(x- \lfloor x\rfloor))^{\lfloor x\rfloor +1} [/mm] .
Welchen Wert hat also $f(x)$ für eine nichtnegative ganze Zahl x ?
Vielleicht fängst du mal mit der Teilaufgabe b) an und überlegst dir, wie für eine rationale Zahl x die Werte der Funktionen
[mm] $f_m(x) [/mm] = f(m!x) $
aussehen.
Für die Teilaufgabe a) solltest du dir die Funktionen [mm] $f_m(x)$ [/mm] im Intervall $[0,1]$ genauer anschauen, vor allem, wie sich sich mit wachsendem m verändern.
Viele Grüße
Rainer
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