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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Fr 15.01.2010 | | Autor: | r1-power |
| Aufgabe | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2-n^{3}}{10*n^{2}-n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{10^5*n}{n^2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}^n
[/mm]
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Hallo zusammen,
ich benötige mal ein wenig Hilfe wie man Grenzwerte bestimmt (einfach und verständlich).Was ist zu beachten und wie löst man das auf?
Mfg und Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hi,
du musst uns sagen, was du machen darfst. Genauer: habt ihr Konvergenz über das [mm] $\epsilon$-Kriterium [/mm] definiert? Damit geht es z.B.
Grüße, Stefan.
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Also (wie bereits vorher schon gesagt wurde:)
du musst sagen, ob ihr das mit den Grenzwertsätzen gerechnet habt oder
eher mit der Definition an die Sache geht.
Grenzwertsätze:
zur a) z.B.
würde als Grendwert [mm] -\infty [/mm] haben:
als erstes ist es nie schlecht, sich zuerst einmal einen Überlick zu verschaffen; genauer gesagt einen sehr groben:
Ist der Zähler > Nenner spricht das für (gegen +/- Unendlich)
Ist der Nenner > Zähler eher gegen Null
Nenner = Zähler konvergiert die FUnktion gegen einen festen Quotienten z.b. 7/8 oder so.
Dabei betrachtest du immer die größte Potenz im Zähler und Nenner.
(Ohne Gewähr, sprich ist ja nur ein grober Überblick)
Dann Grenzwertsätze anwenden.
So kommt z.b. bei a) ja [mm] -\infty [/mm] heraus.
Größte Potenz ausklammern, kürzen, und dann kommen meistens viele Nullfolgen im Term heraus, die man kennt, wie z.b.
1/n²
Hoffe, dass es ein bisschen klarer geworden ist.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:10 Sa 16.01.2010 | | Autor: | r1-power |
Also Grenzwertsätze haben wir sowas gerechnet. Jedoch stehen im Mathebuch nur verkürzte Beispiele, woraus man den Lösungsweg nicht erkennen kann.
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2-n^{3}}{10*n^{2}-n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{10^5*n}{n^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}^n[/mm]
>
>
>
Dann wollen wir dir mal einfache Regeln an die Hand geben:
1.) höchste Potenz ausklammern, wenn es sich um eine gebrochenrationale Funktion handelt und als solche können wir einen Bruch mit nur einer Variable wie x oder n ja auffassen, also überlegen wir uns zur a:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2-n^{3}}{10*n^{2}-n}$
[/mm]
Was passiert für sehr große n? Wenn du dir also eine sehr sehr große Zahl vorstellst (an dieser Stelle ein Tipp: du kannst IMMER Werte zur Überprüfung in den Taschenrechner eingeben, versuche es mit 100 und danach mal [mm] 10^6 [/mm] oder so, dann solltest du ein gutes Gefühl dafür bekommen), dann ist doch klar, dass diese im Zähler mit [mm] n^3 [/mm] stärker wächst als im Nenner mit [mm] n^2, [/mm] zudem diese dann noch um -n verkleinert wird. Demnach ERWARTEN wir eine Entwicklung hin zu [mm] -\infty, [/mm] weil [mm] n^3 [/mm] stärker wächst als jedes [mm] n^2 [/mm] und vor dem [mm] n^3 [/mm] ein negatives Vorzeichen steht. Mathetmatisch lösen wir das nun mit ausklammern von [mm] n^2
[/mm]
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2-n^{3}}{10*n^{2}-n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2*(\bruch{2}{n^2}-n)}{n^2*(10-\bruch{1}{n})}$
[/mm]
Wenn du jetzt kürzt, bleibt das stehen:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{2}{n^2}-n}{10-\bruch{1}{n}}$
[/mm]
Nun können wir nicht mehr sinnvoll vereinfachen, wir haben gekürzt und mehr fällt uns nicht ein, also machen wir den Grenzübergang ,das heißt, wir setzten für n in Gedanken unendlich ein. Dafür musst du wissen, und das ist Sinn und Zweck des Ausklammern/Kürzens gewesen, dass 1/n immer für n gegen [mm] \infty [/mm] eine Nullfolge darstellt, also als Grenzwert a den Wert 0 annimmt. Deshalb fällt uns [mm] \bruch{2}{n^2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] weg, und es bleibt übrig:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-n}{10}$
[/mm]
Nun, und was ist die Lösung dieses Bruches für n gegen [mm] \infty [/mm] Offensichtlich genau das vorausgesagte [mm] -\infty, [/mm] denn 10 verändert sich nie, so dass der Bruch und damit die Zahl immer größer wird, es gibt keinen Grenzwert, der limes ist der uneigentliche Grenzwert [mm] -\infty
[/mm]
Jetzt versuch b und c
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Sa 16.01.2010 | | Autor: | r1-power |
Jetzt hat es klick gemacht. Danke für die Hilfe.
Gruß an die Helfer
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