Grenzwerte bestimmen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 So 20.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
| Aufgabe | Für gegebene Folgen [mm] {a_{n}} [/mm] und [mm] {b_{n}} [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(4a_{n} [/mm] + [mm] 2b_{n}) [/mm] = 6
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n} [/mm] - [mm] b_{n}) [/mm] = 1
Zeigen Sie, dass [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] Grenzwerte besitzen und ermitteln Sie diese!
b) Prüfen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte.
1) [mm] c_{n} [/mm] mit [mm] c_{n} [/mm] = [mm] 3^{n}2^{2n}
[/mm]
2) [mm] d_{n} [/mm] mit [mm] d_{n} =\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+20}}
[/mm]
c)Berechnen Sie folgende Grenzwerte von Funktionen:
1) [mm] \limes_{x\rightarrow\1} \bruch{x^{3}+x^{2}-x-1}{x+1}
[/mm]
2) [mm] \limes_{x\rightarrow\1} \bruch{x^{3}+x^{2}-x-1}{x-1}
[/mm]
3) [mm] \limes_{x\rightarrow\1} \bruch{x^{3}+x^{2}-x-1}{x^{2}-1} [/mm] |
Hallo,
zu dieser Aufgabe habe ich keinen richtigen Lösungsansatz.
wie berechne ich bei a) in diesem fall die grenzwerte?
kann man bei b) mit dem majorantenkriterium arbeiten?
bei c) bräuchte ich nur einen richtigen ansatz, die aufgaben ähneln sich ja, da müsste ich das auch alleine hinbekommen
Lg Toni
|
|
| |
|
> Für gegebene Folgen [mm]{a_{n}}[/mm] und [mm]{b_{n}}[/mm] gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(4a_{n}[/mm] + [mm]2b_{n})[/mm] = 6
> und
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}[/mm] - [mm]b_{n})[/mm] = 1
> Zeigen Sie, dass [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] Grenzwerte besitzen und
> ermitteln Sie diese!
> b) Prüfen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie
> gegebenenfalls die Grenzwerte.
> 1) [mm]c_{n}[/mm] mit [mm]c_{n}[/mm] = [mm]3^{n}2^{2n}[/mm]
> 2) [mm]d_{n}[/mm] mit [mm]d_{n} =\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+20}}[/mm]
>
> c)Berechnen Sie folgende Grenzwerte von Funktionen:
> 1) [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{x^{3}+x^{2}-x-1}{x+1}[/mm]
>
> 2) [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{x^{3}+x^{2}-x-1}{x-1}[/mm]
> 3)
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1} \bruch{x^{3}+x^{2}-x-1}{x^{2}-1}[/mm]
>
> Hallo,
>
> zu dieser Aufgabe habe ich keinen richtigen Lösungsansatz.
>
> wie berechne ich bei a) in diesem fall die grenzwerte?
>
> kann man bei b) mit dem majorantenkriterium arbeiten?
>
Zu a) und b) siehe die Frage https://www.vorhilfe.de/read?i=354946 und meine Antwort darauf.
> bei c) bräuchte ich nur einen richtigen ansatz, die
> aufgaben ähneln sich ja, da müsste ich das auch alleine
> hinbekommen
Wenn der Wert $1$, gegen den $x$ gehen soll, keine Nullstelle des Nenners dieser gebrochen rationalen Terme in $x$ ist, dann ist's einfach: dann kannst Du einfach $1$ in Zähler und Nenner einsetzen und hast den Limes.
Falls der Wert $1$, gegen den $x$ gehen soll, jedoch eine Nullstelle des Nenners ist, dann gibt es zwei Fälle:
1. Fall: $1$ ist auch eine Nullstelle des Zählers, dann machst Du Faktorzerlegung und kürzst den Faktor $(x-1)$. Dann beginnst Du diese Überlegung von vorne...
2. Fall: $1$ ist keine Nullstelle des Zählers, dann existiert jedenfalls kein eigentlicher Grenzwert an dieser Stelle. Allenfalls existiert aber ein uneigentlicher Grenzwert, und zwar genau dann, wenn die Ordnung der Nullstelle $1$ des Nenners gerade ist (weil sich dann - und nur dann - bei dieser Polstelle $x=1$ das Vorzeichen des Terms nicht ändert).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 20.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
Danke für deine Antwort!
zu C)
Das verstehe ich nicht ganz, könntest du mir das für eine Aufgabe als Beispiel zeigen?
ich habe noch vergessen hinzuschreiben, dass x [mm] \in \IR
[/mm]
LG Toni
|
|
|
| |
|
> Danke für deine Antwort!
>
> zu C)
>
> Das verstehe ich nicht ganz, könntest du mir das für eine
> Aufgabe als Beispiel zeigen?
>
> ich habe noch vergessen hinzuschreiben, dass x [mm]\in \IR[/mm]
Bei Deiner ursprünglichen Aufgabenstellung waren die Zahlen, gegen die $x$ beim Limes gehen soll, zudem nicht lesbar. Ich habe zwar versucht, dies zu korrigieren, bin aber nicht sicher, ob diese Korrektur richtig war: falls nicht, ist das Folgende wohl auch Schrott:
1)
[mm]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3+x^2-x-1}{x+1} =
\frac{1^3+1^2-1-1}{1+1} = \frac{0}{1}=\underline{\underline{0}}
[/mm]
Gebrochen-rationale Funktionen $f(x)$ sind ja stetig, so dass an denjenige Stellen [mm] $x_0$, [/mm] an denen sie überhaupt definiert sind, der Grenzwert [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$ [/mm] ist: was wir hier benutzt haben.
2) Nicht so einfach geht's, wenn eine gebrochen-rationale Funktion an der fraglichen Stelle nicht definiert ist, wie im folgenden Falle
[mm]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3+x^2-x-1}{x-1}
= \lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x^2+2x+1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2+2x+1}{1}=1^2+2\cdot 1+1=\underline{\underline{4}}[/mm]
3)
[mm]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3+x^2-x-1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x+1)^2}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)=1+1=\underline{\underline{2}}[/mm]
Leider ist bei diesen Beispielen der Fall nicht dabei, dass sich der problematische Faktor $(x-1)$ nicht aus dem Nenner wegkürzen lässt. In diesem Falle wäre nämlich der Grenzwert entweder [mm] $\pm \infty$ [/mm] (also uneigentlich) oder er würde überhaupt nicht existieren (weil dann links- und rechtsseitiger uneigentlicher Grenzwert verschieden wären).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 So 20.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
Ich hatte eigentlich x gegen 1 eingegeben, keine Ahnung warum es nicht angezeigt wurde. jedenfalls x gegen 1 ist korrekt.
Folglich sind deine Antworten auch richtig und helfen mir erstmal weiter um das zu verstehen.
so schwer ist es dann doch nicht, wie ich dachte.
Ich werd mich jetzt ma hinsetzen und das nochmal durchkauen. hoffentlich bringts was.
Vielen Dank.
Gruß Toni
|
|
|
|
